Sea S = {1, 2, 3, 4, 5}. Ana elige algunos números de S; Beto también elige algunos

números de S. Decimos que Ana y Beto hacen una elección feliz sin han elegido exactamente un

número en común.

Calcular cuántas elecciones felices pueden hacer Ana y Beto.

Aclaración: La elección de Ana (y también la de Beto) puede contener uno, dos, tres, cuatro o cinco

números.

Para calcular cuántas elecciones felices pueden hacer Ana y Beto, debemos encontrar el número de formas en que ambos pueden elegir números del conjunto \( S = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) tal que eligen **exactamente** un número en común.

### Paso 1: Seleccionar el número en común

Primero, Ana y Beto deben elegir **exactamente un número en común**. Hay 5 números en el conjunto \( S \), así que hay 5 formas de seleccionar este número en común.

### Paso 2: Seleccionar los otros números

- Después de haber seleccionado el número en común, Ana puede elegir cualquier subconjunto del conjunto \( S \) sin el número en común. Esto significa que puede elegir un subconjunto de los 4 números restantes.
- Similarmente, Beto puede elegir cualquier subconjunto de los 4 números restantes.

El número total de subconjuntos de un conjunto de 4 elementos es \( 2^4 = 16 \), lo que incluye el caso donde no se elige ningún número adicional.

Sin embargo, para que la elección sea feliz, Ana y Beto deben elegir exactamente un número en común. Así que el caso donde ambos eligen exactamente el número en común (y ningún otro) no debe incluirse dos veces.

### Paso 3: Contar las elecciones felices

Para cada uno de los 5 números en común, hay \(16 \times 16 = 256\) formas en que Ana y Beto pueden hacer sus elecciones considerando los 4 números restantes.

De estas 256 formas, se debe restar 1 caso, que es cuando ambos eligen solo el número en común sin ningún otro número adicional. Entonces, hay 255 elecciones válidas para cada número en común.

Multiplicando por los 5 números posibles en común:

\[
5 \times 255 = 1275
\]

### Resultado

Entonces, el número total de elecciones felices que pueden hacer Ana y Beto es **1275**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiaría el resultado si el conjunto \( S \) tuviera 6 elementos?
2. ¿Qué pasaría si Ana y Beto debieran elegir al menos dos números en común?
3. ¿Cómo se calcularía el número de elecciones en las que Ana y Beto no tienen ningún número en común?
4. ¿Cuál es el número total de formas en que Ana y Beto pueden hacer sus elecciones sin ninguna restricción?
5. ¿Cómo se aplican los principios combinatorios a problemas de la vida real similares?

**Tip:** Cuando se trabaja con problemas de combinatoria, es útil identificar y separar claramente los casos para evitar errores de conteo.

Explore how to calculate happy choices in combinatorial set theory using the example of selecting subsets from a set. Understand the application of binomial coefficients in counting subsets and solving problems of intersecting selections. Suitable for Grades 10-12 students and beyond.

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