Um livro de 201 páginas contém 32 erros distribuídos pelo livro aleatoriamente. Qual a probabilidade de que 6 páginas, escolhidas ao acaso, tenham, no máximo, um erro?

Para resolver esse problema, podemos utilizar o conceito de distribuição binomial para determinar a probabilidade de que, em um grupo de 6 páginas escolhidas ao acaso, haja no máximo 1 erro. A distribuição binomial é apropriada porque estamos tratando de um número fixo de ensaios (6 páginas) e a probabilidade de ocorrência de um erro em cada página é constante.

### Passos para resolver o problema:

1. **Determine a probabilidade de uma página conter um erro**:
   \[
   p = \frac{\text{número de erros}}{\text{número total de páginas}} = \frac{32}{201}
   \]
   Então, a probabilidade de uma página não conter um erro é:
   \[
   q = 1 - p = 1 - \frac{32}{201} = \frac{169}{201}
   \]

2. **Distribuição binomial**:
   Para 6 páginas, a probabilidade de \( k \) erros (onde \( k = 0 \) ou \( k = 1 \)) em 6 páginas é dada por:
   \[
   P(X = k) = \binom{6}{k} p^k q^{6-k}
   \]
   onde \( \binom{6}{k} \) é o coeficiente binomial e \( X \) é o número de erros.

3. **Calcule as probabilidades para \( k = 0 \) e \( k = 1 \)**:

   - Para \( k = 0 \):
     \[
     P(X = 0) = \binom{6}{0} \left(\frac{32}{201}\right)^0 \left(\frac{169}{201}\right)^6 = 1 \times \left(\frac{169}{201}\right)^6
     \]

   - Para \( k = 1 \):
     \[
     P(X = 1) = \binom{6}{1} \left(\frac{32}{201}\right)^1 \left(\frac{169}{201}\right)^5 = 6 \times \frac{32}{201} \times \left(\frac{169}{201}\right)^5
     \]

4. **Some as probabilidades**:
   A probabilidade de haver no máximo um erro em 6 páginas é:
   \[
   P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
   \]

### Cálculo Numérico:

Primeiro, calcule \( q^5 \) e \( q^6 \):
\[
q^5 = \left(\frac{169}{201}\right)^5 \quad \text{e} \quad q^6 = \left(\frac{169}{201}\right)^6
\]
Então,
\[
P(X = 0) = \frac{169^6}{201^6}
\]
\[
P(X = 1) = 6 \times \frac{32 \times 169^5}{201^6}
\]
Finalmente, some as duas probabilidades para encontrar \( P(X \leq 1) \).

### Resposta Final:

Para obter o valor exato, os cálculos podem ser feitos utilizando uma calculadora ou software de matemática. Vou calcular isso para você.

Vamos calcular:

1. \( q = \frac{169}{201} \approx 0.841 \)

2. \( q^5 \) e \( q^6 \):

\[
q^6 = 0.841^6 \approx 0.402
\]
\[
q^5 = 0.841^5 \approx 0.478
\]

Então:
\[
P(X = 0) \approx 0.402
\]
\[
P(X = 1) \approx 6 \times \frac{32}{201} \times 0.478 \approx 6 \times 0.159 \times 0.478 \approx 0.457
\]

Finalmente:
\[
P(X \leq 1) \approx 0.402 + 0.457 = 0.859
\]

### Conclusão:

A probabilidade de que, em 6 páginas escolhidas aleatoriamente, haja no máximo 1 erro é aproximadamente **85,9%**.

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão cinco questões relacionadas:

1. Como a distribuição de Poisson pode ser usada em situações similares para calcular a probabilidade?
2. Como mudar a quantidade de erros no livro afetaria a probabilidade calculada?
3. Qual a diferença entre usar uma distribuição binomial e uma distribuição hipergeométrica nesse tipo de problema?
4. Como o número de páginas escolhidas (6) influencia a probabilidade calculada?
5. O que aconteceria com a probabilidade se o número de erros fosse significativamente maior ou menor?

**Dica**: Em problemas de probabilidade, entender a distribuição e a natureza dos eventos (independentes ou não) é crucial para escolher a abordagem correta.

Descubra como calcular a probabilidade de que 6 páginas escolhidas aleatoriamente de um livro de 201 páginas contenham no máximo 1 erro. Use a distribuição binomial para resolver este problema matemático, adequado para estudantes de graduação e entusiastas de estatística.

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