resuelve:
Dados los vectores

 $$ u=\left(-2,5,5\right)\text{ y} $$$$ v=\left(4,-10,\text{ k}\right) $$

hallar el valor de *k*  para que el ángulo comprendido entre ellos sea 60º.

Para encontrar el valor de $ k $ tal que el ángulo entre los vectores $ u = (-2, 5, 5) $ y $ v = (4, -10, k) $ sea $ 60^\circ $, usamos la fórmula del producto punto y la relación entre el producto punto y el coseno del ángulo entre dos vectores.

La fórmula del producto punto es:

\[ u \cdot v = |u| |v| \cos \theta \]

Donde $\theta = 60^\circ$, y $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Primero, calculamos el producto punto $ u \cdot v $:

\[ u \cdot v = (-2)(4) + (5)(-10) + (5)(k) = -8 - 50 + 5k = -58 + 5k \]

Luego, calculamos las magnitudes de $ u $ y $ v $:

\[ |u| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25 + 25} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \]

\[ |v| = \sqrt{4^2 + (-10)^2 + k^2} = \sqrt{16 + 100 + k^2} = \sqrt{116 + k^2} \]

Sustituimos en la fórmula del producto punto:

\[ -58 + 5k = (3\sqrt{6})(\sqrt{116 + k^2}) \left(\frac{1}{2}\right) \]

Simplificamos:

\[ -58 + 5k = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{116 + k^2}}{2} \]

Multiplicamos ambos lados por 2 para deshacernos del denominador:

\[ 2(-58 + 5k) = 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{116 + k^2} \]

\[ -116 + 10k = 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{116 + k^2} \]

Cuadramos ambos lados para eliminar la raíz:

\[ (-116 + 10k)^2 = (3\sqrt{6})^2 (116 + k^2) \]

\[ 13456 - 2320k + 100k^2 = 54(116 + k^2) \]

Simplificamos:

\[ 13456 - 2320k + 100k^2 = 6264 + 54k^2 \]

Pasamos todos los términos al mismo lado de la ecuación:

\[ 100k^2 - 54k^2 - 2320k + 13456 - 6264 = 0 \]

\[ 46k^2 - 2320k + 7192 = 0 \]

Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificar:

\[ 23k^2 - 1160k + 3596 = 0 \]

Ahora, resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general $ k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $:

\[ a = 23, \; b = -1160, \; c = 3596 \]

\[ k = \frac{1160 \pm \sqrt{1160^2 - 4 \cdot 23 \cdot 3596}}{2 \cdot 23} \]

Calculamos el discriminante:

\[ 1160^2 - 4 \cdot 23 \cdot 3596 = 1345600 - 330464 = 1015136 \]

\[ k = \frac{1160 \pm \sqrt{1015136}}{46} \]

\[ k = \frac{1160 \pm 1007.55}{46} \]

Calculamos las dos posibles soluciones para $ k $:

\[ k_1 = \frac{1160 + 1007.55}{46} = \frac{2167.55}{46} \approx 47.12 \]

\[ k_2 = \frac{1160 - 1007.55}{46} = \frac{152.45}{46} \approx 3.31 \]

Por lo tanto, los valores de $ k $ para que el ángulo entre los vectores sea $ 60^\circ $ son aproximadamente $ k \approx 47.12 $ y $ k \approx 3.31 $.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se encuentra el ángulo entre dos vectores dados?
2. ¿Qué son los vectores ortogonales y cómo se determinan?
3. ¿Cómo se proyecta un vector sobre otro?
4. ¿Cómo se calcula la magnitud de un vector en el espacio tridimensional?
5. ¿Qué aplicaciones tienen los productos punto y cruz en la física?

**Tip:** Cuando trabajas con vectores y ángulos, el producto punto es una herramienta esencial para encontrar el ángulo entre dos vectores.

Learn how to determine the value of k for vectors u = (-2, 5, 5) and v = (4, -10, k) so that the angle between them is 60 degrees. This problem involves using the dot product formula and trigonometric principles to solve for k.

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