Em uma indústria, 60% das peças torneadas são polidas. Se observarmos uma amostra de 10 peças torneadas de um lote qualquer, qual a probabilidade de encontrarmos ao menos 8 peças polidas? Calcule também a média e a variância do número de peças polidas.

Para resolver este problema, vamos utilizar a distribuição binomial. 

### Definição da Distribuição Binomial

Seja \( X \) o número de peças polidas em uma amostra de 10 peças torneadas. Sabemos que:

- \( n = 10 \) (número de ensaios)
- \( p = 0,60 \) (probabilidade de sucesso, ou seja, de a peça ser polida)
- \( q = 1 - p = 0,40 \) (probabilidade de fracasso, ou seja, de a peça não ser polida)

### Média e Variância

A média (\( \mu \)) e a variância (\( \sigma^2 \)) de uma distribuição binomial são dadas por:

\[
\mu = n \cdot p
\]

\[
\sigma^2 = n \cdot p \cdot q
\]

Substituindo os valores:

\[
\mu = 10 \cdot 0,60 = 6
\]

\[
\sigma^2 = 10 \cdot 0,60 \cdot 0,40 = 2,4
\]

Portanto:

- **Média**: 6
- **Variância**: 2,4

### Cálculo da Probabilidade

Agora, queremos encontrar a probabilidade de obtermos ao menos 8 peças polidas. Isto é, precisamos calcular \( P(X \geq 8) \).

A probabilidade para uma variável binomial \( X \) que assume o valor \( k \) é dada por:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

Portanto:

\[
P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
\]

Vamos calcular cada um desses termos:

1. **\( P(X = 8) \)**:

\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0,60^8 \cdot 0,40^2
\]

2. **\( P(X = 9) \)**:

\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot 0,60^9 \cdot 0,40^1
\]

3. **\( P(X = 10) \)**:

\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot 0,60^{10} \cdot 0,40^0
\]

Agora vamos calcular essas probabilidades e somá-las. 

### Cálculos Numéricos

Calculando:

\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0,60^8 \cdot 0,40^2 = 45 \cdot 0,16777216 \cdot 0,16 = 0,1209
\]

\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot 0,60^9 \cdot 0,40^1 = 10 \cdot 0,10077696 \cdot 0,40 = 0,0403
\]

\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot 0,60^{10} \cdot 0,40^0 = 1 \cdot 0,060466176 = 0,0605
\]

Somando as probabilidades:

\[
P(X \geq 8) = 0,1209 + 0,0403 + 0,0605 = 0,2217
\]

### Resumo dos Resultados

- **Média do número de peças polidas**: 6
- **Variância do número de peças polidas**: 2,4
- **Probabilidade de encontrar ao menos 8 peças polidas**: \( 0,2217 \) ou 22,17%

---

Deseja mais detalhes sobre algum dos passos? Aqui estão 5 perguntas relativas ao que foi abordado:

1. Como se deduzem as fórmulas da média e variância para uma distribuição binomial?
2. O que significa o coeficiente binomial \( \binom{n}{k} \) e como ele é calculado?
3. Em que outros contextos práticos podemos usar a distribuição binomial?
4. Qual é a interpretação da variância no contexto deste problema?
5. Como a distribuição binomial se comporta quando a probabilidade \( p \) se aproxima de 0 ou 1?

**Dica:** Entender bem a distribuição binomial pode te ajudar a resolver problemas envolvendo probabilidades em situações com apenas dois resultados possíveis, como sucesso/fracasso ou sim/não.

Descubra como calcular a probabilidade de encontrar ao menos 8 peças polidas em uma amostra de 10 peças torneadas, utilizando a distribuição binomial. Inclui cálculo da média e variância, ideal para estudantes do ensino médio.

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