Um livro de 201 páginas contém 32 erros distribuídos pelo livro aleatoriamente. Qual a probabilidade de que 6 páginas, escolhidas ao acaso, tenham, no máximo, um erro?

Para resolver este problema, podemos usar o conceito da distribuição hipergeométrica. Esta distribuição é usada para modelar a probabilidade de um número específico de sucessos (neste caso, páginas com erros) em uma amostra tirada sem reposição de uma população finita.

### Passo 1: Definir as variáveis

- \( N = 201 \): número total de páginas no livro.
- \( K = 32 \): número total de páginas com erros.
- \( n = 6 \): número de páginas escolhidas aleatoriamente.
- \( X \): variável aleatória que representa o número de páginas com erros na amostra de 6 páginas.

Queremos encontrar a probabilidade de que no máximo uma página tenha erro, ou seja, \( P(X \leq 1) \).

### Passo 2: Calcular as probabilidades relevantes

A distribuição hipergeométrica é dada por:

\[
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}
\]

onde:
- \( \binom{a}{b} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \( b \) elementos de \( a \) elementos.

Precisamos calcular \( P(X = 0) \) e \( P(X = 1) \).

#### Cálculo de \( P(X = 0) \):

\[
P(X = 0) = \frac{\binom{32}{0} \binom{169}{6}}{\binom{201}{6}}
\]

- \( \binom{32}{0} = 1 \)
- \( \binom{169}{6} \) é o número de maneiras de escolher 6 páginas sem erros de 169 páginas.
- \( \binom{201}{6} \) é o número total de maneiras de escolher 6 páginas de 201.

#### Cálculo de \( P(X = 1) \):

\[
P(X = 1) = \frac{\binom{32}{1} \binom{169}{5}}{\binom{201}{6}}
\]

- \( \binom{32}{1} = 32 \)
- \( \binom{169}{5} \) é o número de maneiras de escolher 5 páginas sem erros de 169 páginas.

### Passo 3: Realizar os cálculos

Vamos calcular cada termo:

\[
\binom{169}{6} = \frac{169 \times 168 \times 167 \times 166 \times 165 \times 164}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
\]

\[
\binom{201}{6} = \frac{201 \times 200 \times 199 \times 198 \times 197 \times 196}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
\]

\[
\binom{169}{5} = \frac{169 \times 168 \times 167 \times 166 \times 165}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
\]

Agora, calculamos \( P(X = 0) \) e \( P(X = 1) \):

\[
P(X = 0) = \frac{1 \times \binom{169}{6}}{\binom{201}{6}}
\]

\[
P(X = 1) = \frac{32 \times \binom{169}{5}}{\binom{201}{6}}
\]

Vamos calcular essas probabilidades numericamente.

### Passo 4: Calcular as probabilidades numéricas

Agora vamos calcular as probabilidades numericamente:

\[
\binom{169}{6} = 556790256
\]
\[
\binom{201}{6} = 24378812696
\]
\[
\binom{169}{5} = 26259600
\]

Calculando \( P(X = 0) \) e \( P(X = 1) \):

\[
P(X = 0) = \frac{556790256}{24378812696} \approx 0,0228
\]

\[
P(X = 1) = \frac{32 \times 26259600}{24378812696} \approx 0,0345
\]

### Passo 5: Somar as probabilidades

Finalmente, a probabilidade de que no máximo uma página tenha erro é:

\[
P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\]

\[
P(X \leq 1) = 0,0228 + 0,0345 = 0,0573
\]

### Resposta

A probabilidade de que 6 páginas escolhidas ao acaso tenham, no máximo, um erro é aproximadamente **0,0573** ou **5,73%**.

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma pergunta?

### Perguntas Relacionadas

1. Como a distribuição hipergeométrica é usada em outros problemas de probabilidade?
2. Qual é a diferença entre uma distribuição hipergeométrica e uma distribuição binomial?
3. Como a distribuição hipergeométrica muda se aumentarmos o número total de páginas com erros?
4. Como calcular a probabilidade de exatamente duas páginas terem erros?
5. Quais são outros exemplos práticos em que a distribuição hipergeométrica é aplicável?

### Dica

Quando estiver lidando com amostras sem reposição de uma população finita, a distribuição hipergeométrica é uma ferramenta poderosa para calcular probabilidades!

Learn how to calculate the probability of having at most one error on 6 randomly chosen pages from a 201-page book with 32 errors distributed randomly. Includes step-by-step solution using the hypergeometric distribution formula. Suitable for advanced high school students.

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