Para resolver este problema, podemos usar o conceito da distribuição hipergeométrica. Esta distribuição é usada para modelar a probabilidade de um número específico de sucessos (neste caso, páginas com erros) em uma amostra tirada sem reposição de uma população finita.

Passo 1: Definir as variáveis

• $N = 201$: número total de páginas no livro.
• $K = 32$: número total de páginas com erros.
• $n = 6$: número de páginas escolhidas aleatoriamente.
• $X$: variável aleatória que representa o número de páginas com erros na amostra de 6 páginas.

Queremos encontrar a probabilidade de que no máximo uma página tenha erro, ou seja, $P(X \leq 1)$.

Passo 2: Calcular as probabilidades relevantes

A distribuição hipergeométrica é dada por:

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}$

onde:

• $\binom{a}{b}$ é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher $b$ elementos de $a$ elementos.

Precisamos calcular $P(X = 0)$ e $P(X = 1)$.

Cálculo de $P(X = 0)$:

$P(X = 0) = \frac{\binom{32}{0} \binom{169}{6}}{\binom{201}{6}}$

• $\binom{32}{0} = 1$
• $\binom{169}{6}$ é o número de maneiras de escolher 6 páginas sem erros de 169 páginas.
• $\binom{201}{6}$ é o número total de maneiras de escolher 6 páginas de 201.

Cálculo de $P(X = 1)$:

$P(X = 1) = \frac{\binom{32}{1} \binom{169}{5}}{\binom{201}{6}}$

• $\binom{32}{1} = 32$
• $\binom{169}{5}$ é o número de maneiras de escolher 5 páginas sem erros de 169 páginas.

Passo 3: Realizar os cálculos

Vamos calcular cada termo:

$\binom{169}{6} = \frac{169 \times 168 \times 167 \times 166 \times 165 \times 164}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$\binom{201}{6} = \frac{201 \times 200 \times 199 \times 198 \times 197 \times 196}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$\binom{169}{5} = \frac{169 \times 168 \times 167 \times 166 \times 165}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Agora, calculamos $P(X = 0)$ e $P(X = 1)$:

$P(X = 0) = \frac{1 \times \binom{169}{6}}{\binom{201}{6}}$

$P(X = 1) = \frac{32 \times \binom{169}{5}}{\binom{201}{6}}$

Vamos calcular essas probabilidades numericamente.

Passo 4: Calcular as probabilidades numéricas

Agora vamos calcular as probabilidades numericamente:

$\binom{169}{6} = 556790256$ $\binom{201}{6} = 24378812696$ $\binom{169}{5} = 26259600$

Calculando $P(X = 0)$ e $P(X = 1)$:

$P(X = 0) = \frac{556790256}{24378812696} \approx 0,0228$

$P(X = 1) = \frac{32 \times 26259600}{24378812696} \approx 0,0345$

Passo 5: Somar as probabilidades

Finalmente, a probabilidade de que no máximo uma página tenha erro é:

$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$

$P(X \leq 1) = 0,0228 + 0,0345 = 0,0573$

Resposta

A probabilidade de que 6 páginas escolhidas ao acaso tenham, no máximo, um erro é aproximadamente 0,0573 ou 5,73%.

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4. Como calcular a probabilidade de exatamente duas páginas terem erros?
5. Quais são outros exemplos práticos em que a distribuição hipergeométrica é aplicável?

Dica

Quando estiver lidando com amostras sem reposição de uma população finita, a distribuição hipergeométrica é uma ferramenta poderosa para calcular probabilidades!