Um livro de 307 páginas contém 31 erros distribuídos pelo livro aleatoriamente. Qual a probabilidade de que 7 páginas, escolhidas ao acaso, tenham, no máximo, um erro? (apresente o resultado em forma de fração)

Para calcular a probabilidade de que 7 páginas escolhidas ao acaso tenham no máximo um erro, utilizamos a distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada porque estamos considerando um número fixo de páginas (7 páginas), com uma probabilidade constante de erro em cada página, e queremos encontrar a probabilidade de ter no máximo um erro.

**Passo 1: Calcular a probabilidade de uma página conter um erro.**

O livro contém 31 erros distribuídos aleatoriamente em 307 páginas. A probabilidade de uma página específica ter um erro é:

\[
p = \frac{31}{307}
\]

E a probabilidade de uma página não ter erro é:

\[
q = 1 - p = 1 - \frac{31}{307} = \frac{307 - 31}{307} = \frac{276}{307}
\]

**Passo 2: Utilizar a fórmula da distribuição binomial.**

A probabilidade de ocorrer exatamente \( k \) erros em \( n \) páginas, dado que a probabilidade de um erro em uma página é \( p \), é dada por:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
\]

Aqui, \( n = 7 \), \( k \) pode ser 0 ou 1 (pois estamos considerando no máximo um erro), \( p = \frac{31}{307} \), e \( q = \frac{276}{307} \).

**Passo 3: Calcular a probabilidade de não ocorrer erro em nenhuma página (k = 0).**

\[
P(X = 0) = \binom{7}{0} \left(\frac{31}{307}\right)^0 \left(\frac{276}{307}\right)^7 = 1 \times 1 \times \left(\frac{276}{307}\right)^7 = \left(\frac{276}{307}\right)^7
\]

**Passo 4: Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente um erro (k = 1).**

\[
P(X = 1) = \binom{7}{1} \left(\frac{31}{307}\right) \left(\frac{276}{307}\right)^6 = 7 \times \frac{31}{307} \times \left(\frac{276}{307}\right)^6
\]

**Passo 5: Somar as probabilidades.**

A probabilidade de ocorrer no máximo um erro é:

\[
P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
\]

Substituindo os valores:

\[
P(X \leq 1) = \left(\frac{276}{307}\right)^7 + 7 \times \frac{31}{307} \times \left(\frac{276}{307}\right)^6
\]

**Resposta em fração:** A probabilidade de que 7 páginas escolhidas ao acaso tenham, no máximo, um erro é:

\[
\frac{276^7}{307^7} + \frac{7 \times 31 \times 276^6}{307^7}
\]

Essa é a forma exata em fração.

---
Posso ajudar com mais detalhes sobre o cálculo ou tem alguma outra dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como essa fórmula muda se considerarmos 2 erros como limite máximo?
2. Como seria a distribuição dos erros se o número de páginas e erros fossem diferentes?
3. Qual a interpretação prática da distribuição binomial nesse contexto?
4. Como a probabilidade muda se aumentarmos o número de páginas selecionadas para 10?
5. Quais são outras aplicações da distribuição binomial em problemas do dia a dia?

**Dica:** Quando estamos lidando com probabilidades envolvendo "no máximo" ou "pelo menos", a soma das probabilidades de casos individuais é uma ferramenta crucial.

Calculate the probability that 7 randomly chosen pages from a 307-page book have at most one error. Understand the application of binomial distribution in solving this probability problem. Suitable for advanced high school students and beyond.

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