Para calcular a probabilidade de que 7 páginas escolhidas ao acaso tenham no máximo um erro, utilizamos a distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada porque estamos considerando um número fixo de páginas (7 páginas), com uma probabilidade constante de erro em cada página, e queremos encontrar a probabilidade de ter no máximo um erro.

Passo 1: Calcular a probabilidade de uma página conter um erro.

O livro contém 31 erros distribuídos aleatoriamente em 307 páginas. A probabilidade de uma página específica ter um erro é:

$p = \frac{31}{307}$

E a probabilidade de uma página não ter erro é:

$q = 1 - p = 1 - \frac{31}{307} = \frac{307 - 31}{307} = \frac{276}{307}$

Passo 2: Utilizar a fórmula da distribuição binomial.

A probabilidade de ocorrer exatamente $k$ erros em $n$ páginas, dado que a probabilidade de um erro em uma página é $p$, é dada por:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$

Aqui, $n = 7$, $k$ pode ser 0 ou 1 (pois estamos considerando no máximo um erro), $p = \frac{31}{307}$, e $q = \frac{276}{307}$.

Passo 3: Calcular a probabilidade de não ocorrer erro em nenhuma página (k = 0).

$P(X = 0) = \binom{7}{0} \left(\frac{31}{307}\right)^0 \left(\frac{276}{307}\right)^7 = 1 \times 1 \times \left(\frac{276}{307}\right)^7 = \left(\frac{276}{307}\right)^7$

Passo 4: Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente um erro (k = 1).

$P(X = 1) = \binom{7}{1} \left(\frac{31}{307}\right) \left(\frac{276}{307}\right)^6 = 7 \times \frac{31}{307} \times \left(\frac{276}{307}\right)^6$

Passo 5: Somar as probabilidades.

A probabilidade de ocorrer no máximo um erro é:

$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$

Substituindo os valores:

$P(X \leq 1) = \left(\frac{276}{307}\right)^7 + 7 \times \frac{31}{307} \times \left(\frac{276}{307}\right)^6$

Resposta em fração: A probabilidade de que 7 páginas escolhidas ao acaso tenham, no máximo, um erro é:

$\frac{276^7}{307^7} + \frac{7 \times 31 \times 276^6}{307^7}$

Essa é a forma exata em fração.

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Posso ajudar com mais detalhes sobre o cálculo ou tem alguma outra dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como essa fórmula muda se considerarmos 2 erros como limite máximo?
2. Como seria a distribuição dos erros se o número de páginas e erros fossem diferentes?
3. Qual a interpretação prática da distribuição binomial nesse contexto?
4. Como a probabilidade muda se aumentarmos o número de páginas selecionadas para 10?
5. Quais são outras aplicações da distribuição binomial em problemas do dia a dia?

Dica: Quando estamos lidando com probabilidades envolvendo "no máximo" ou "pelo menos", a soma das probabilidades de casos individuais é uma ferramenta crucial.