Chứng minh các biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến: 




 c) F = - x^4 + 4x^2 - 6 




d) G = - 3/4x^4 - 3x^2 - 6

Để chứng minh rằng các biểu thức luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \), ta cần phân tích và tìm các điểm cực trị cũng như giá trị của biểu thức tại các điểm này.

### c) \( F(x) = -x^4 + 4x^2 - 6 \)

Để tìm điểm cực trị, ta cần tìm đạo hàm của \( F(x) \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

\[
F'(x) = \frac{d}{dx} (-x^4 + 4x^2 - 6) = -4x^3 + 8x
\]

Đặt \( F'(x) = 0 \):

\[
-4x^3 + 8x = 0 \implies -4x(x^2 - 2) = 0 \implies x(x^2 - 2) = 0
\]

Do đó, ta có các nghiệm:

\[
x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}
\]

Bây giờ, ta xét giá trị của \( F(x) \) tại các điểm này và tính toán giá trị của biểu thức tại các điểm này.

\[
F(0) = -0^4 + 4 \cdot 0^2 - 6 = -6
\]

\[
F(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 6 = -4 + 8 - 6 = -2
\]

\[
F(-\sqrt{2}) = -(-\sqrt{2})^4 + 4(-\sqrt{2})^2 - 6 = -4 + 8 - 6 = -2
\]

Ta thấy rằng tại các điểm cực trị và điểm \( x = 0 \), giá trị của \( F(x) \) đều là âm. Để chứng minh \( F(x) \) luôn âm với mọi \( x \), ta cần phân tích kỹ thêm biểu thức này.

Xét \( F(x) \):

\[
F(x) = -x^4 + 4x^2 - 6 = -(x^4 - 4x^2 + 6)
\]

Xét biểu thức trong dấu ngoặc:

\[
x^4 - 4x^2 + 6
\]

Xét định thức của phương trình \( x^4 - 4x^2 + 6 = 0 \):

\[
D = 16 - 24 = -8
\]

Vì định thức \( D \) là âm, phương trình này không có nghiệm thực và do đó, biểu thức \( x^4 - 4x^2 + 6 \) luôn dương. Điều này có nghĩa là \( - (x^4 - 4x^2 + 6) \) luôn âm.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( F(x) \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \).

### d) \( G(x) = -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6 \)

Tương tự, ta tìm đạo hàm của \( G(x) \) và tìm các điểm cực trị.

\[
G'(x) = \frac{d}{dx} \left(-\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6 \right) = -3x^3 - 6x
\]

Đặt \( G'(x) = 0 \):

\[
-3x^3 - 6x = 0 \implies -3x(x^2 + 2) = 0 \implies x = 0
\]

Tại \( x = 0 \):

\[
G(0) = -\frac{3}{4} \cdot 0^4 - 3 \cdot 0^2 - 6 = -6
\]

Xét biểu thức \( G(x) \):

\[
G(x) = -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6
\]

Biểu thức này có các hệ số âm và hàm bậc chẵn nên luôn âm.

Vì \( -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6 \) chứa các hệ số âm và không có nghiệm dương thực cho \( G'(x) = 0 \), nên \( G(x) \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \).

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng:

\[
F(x) = -x^4 + 4x^2 - 6 \quad \text{và} \quad G(x) = -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6
\]

luôn có giá trị âm với mọi giá trị của \( x \).

Bạn có muốn biết chi tiết hoặc có câu hỏi nào khác không?  
Dưới đây là 5 câu hỏi khác bạn có thể hỏi:

1. Làm thế nào để xác định các điểm cực trị của một hàm số?
2. Làm thế nào để biết một hàm số luôn dương hay âm?
3. Các phương pháp chứng minh giá trị của hàm số trong một khoảng nhất định?
4. Làm thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc bốn?
5. Sự khác biệt giữa cực đại và cực tiểu của một hàm số là gì?

**Tip:** Khi phân tích hàm số, việc tìm điểm cực trị và kiểm tra dấu của đạo hàm là rất quan trọng để hiểu hành vi của hàm số trên toàn bộ miền xác định của nó.

Explore how to prove that the polynomial functions F(x) = -x^4 + 4x^2 - 6 and G(x) = -3/4 x^4 - 3x^2 - 6 are always negative for all values of x. Understand the critical points, derivative analysis, and polynomial behavior in this detailed mathematical proof.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation