se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8 cm de radio y masa de 0.18 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo. Después de que el aro ha descendido 75cm calcule: a) la rapidez del aro al girar y b) la rapidez de su centro 

Este problema involucra tanto el movimiento de traslación como el movimiento de rotación del aro mientras desciende. Vamos a resolverlo paso a paso.

### Datos proporcionados:
- Radio del aro \( r = 8 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m} \)
- Masa del aro \( m = 0.18 \, \text{kg} \)
- Distancia descendida \( h = 75 \, \text{cm} = 0.75 \, \text{m} \)

### Suposiciones:
- Se considera que no hay deslizamiento entre el cordel y el aro.
- El sistema está bajo la influencia de la gravedad (\( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)).

### a) Rapidez del aro al girar

Para resolver esto, utilizaremos la **conservación de la energía mecánica**.

Inicialmente, el aro está en reposo, por lo tanto, su energía cinética es cero. Tiene energía potencial gravitatoria debido a su posición elevada. Al descender, esta energía potencial se convierte en energía cinética de traslación y energía cinética rotacional.

La energía total se conserva:

\[
E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}
\]

La energía inicial es solo la energía potencial gravitatoria:

\[
E_{\text{inicial}} = mgh
\]

La energía final es la suma de la energía cinética de traslación \( K_{\text{traslación}} \) y la energía cinética de rotación \( K_{\text{rotación}} \):

\[
E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2} I \omega^2
\]

Donde:
- \( v_{\text{CM}} \) es la rapidez del centro de masa del aro.
- \( I = m r^2 \) es el momento de inercia de un aro delgado.
- \( \omega \) es la velocidad angular del aro, que está relacionada con la rapidez del centro de masa mediante \( \omega = \frac{v_{\text{CM}}}{r} \).

Reemplazando estas expresiones en la ecuación de conservación de la energía:

\[
mgh = \frac{1}{2} m v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \left( \frac{v_{\text{CM}}}{r} \right)^2
\]

Simplificando:

\[
mgh = \frac{1}{2} m v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2} m v_{\text{CM}}^2
\]

\[
mgh = m v_{\text{CM}}^2
\]

Finalmente, despejamos \( v_{\text{CM}} \):

\[
v_{\text{CM}} = \sqrt{gh}
\]

\[
v_{\text{CM}} = \sqrt{9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.75 \, \text{m}} = \sqrt{7.35} \, \text{m/s}
\]

\[
v_{\text{CM}} \approx 2.71 \, \text{m/s}
\]

### b) La rapidez angular \( \omega \) del aro al girar

La velocidad angular \( \omega \) está relacionada con la rapidez del centro de masa mediante la relación \( \omega = \frac{v_{\text{CM}}}{r} \). Entonces:

\[
\omega = \frac{2.71 \, \text{m/s}}{0.08 \, \text{m}}
\]

\[
\omega \approx 33.88 \, \text{rad/s}
\]

### Respuestas:
a) La rapidez del aro al girar es aproximadamente \( 33.88 \, \text{rad/s} \).  
b) La rapidez del centro de masa del aro es \( 2.71 \, \text{m/s} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo afecta la masa del aro a la rapidez al descender?
2. ¿Qué sucede si el aro tiene un radio diferente?
3. ¿Cómo se relacionan las energías cinética de traslación y rotacional?
4. ¿Por qué no afecta la masa del aro en la velocidad final en este tipo de problemas?
5. ¿Cómo cambiarían los resultados si el aro no rueda sin deslizar?

**Tip:** Siempre es útil revisar las unidades para asegurarse de que los cálculos sean consistentes.

Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8 cm de radio y masa de 0.18 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo. Después de que el aro ha descendido 75 cm, calcule: a) la rapidez del aro al girar y b) la rapidez de su centro.

Resuelve un problema físico en el que un aro de 8 cm de radio y 0.18 kg de masa desciende 75 cm. Calcula la rapidez de su giro y la rapidez de su centro usando la conservación de energía. Ideal para estudiantes de física avanzada.

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