لحل المسألة الموضحة في الصورة، سنقوم بتحليل الخطوات الرياضية المطلوبة. المعادلة المعطاة هي:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1 - x}$

الخطوات:

1. التعامل مع الحد في البسط: $\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)$

   عندما $x \to \infty$، فإن $\frac{\pi}{x} \to 0$. ونعلم أن $\sin(\theta) \approx \theta$ عندما تكون $\theta$ صغيرة. لذلك:

   $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \approx \frac{\pi}{x}$

   وعليه:

   $\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) \approx \left(\frac{\pi}{x}\right)^2$

2. تبسيط الكسر باستخدام التقريب:

   $\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1 - x} \approx \frac{\left(\frac{\pi}{x}\right)^2}{1 - x}$

3. تبسيط الكسور:

   $\frac{\left(\frac{\pi}{x}\right)^2}{1 - x} = \frac{\frac{\pi^2}{x^2}}{1 - x}$

4. حد النهاية:

   لنحسب الحد عندما $x \to \infty$:

   $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi^2}{x^2}}{1 - x}$

   عندما $x \to \infty$، فإن $1 - x \approx -x$. لذلك، يمكننا تبسيط الكسر إلى:

   $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi^2}{x^2}}{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\pi^2}{-x^3}$

   وعندما $x \to \infty$:

   $\frac{\pi^2}{x^3} \to 0$

   وبالتالي:

   $\lim_{x \to \infty} \frac{\pi^2}{-x^3} = 0$

النتيجة:

$\boxed{0}$

هل تحتاج إلى تفاصيل إضافية أو أي أسئلة أخرى؟

أسئلة مقترحة:

1. كيف يمكن حساب النهاية عندما يكون البسط والمقام معقدين؟
2. ما هي الخصائص التي يمكن استخدامها لتبسيط الدوال المثلثية؟
3. كيف يمكن استخدام قواعد المستشفى لحل النهايات غير المحددة؟
4. كيف نميز بين النهايات ذات الشكل غير المحدد؟
5. ما هي الطريقة الأفضل لتحليل النهايات عند الاقتراب من المالانهاية؟

نصيحة:

عند حساب النهايات، حاول تبسيط التعبيرات المعقدة باستخدام التقريبات المناسبة للدوال الرياضية عندما تقترب من حدود معينة.