https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1719952042605xop6y7tf.png

ساعدني في حل المسألة المرفقة بالصورة

لحل المسألة الموضحة في الصورة، سنقوم بتحليل الخطوات الرياضية المطلوبة. المعادلة المعطاة هي:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1 - x} \]

### الخطوات:

1. **التعامل مع الحد في البسط:**
   \(\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)\)

   عندما \( x \to \infty \)، فإن \(\frac{\pi}{x} \to 0\). ونعلم أن \(\sin(\theta) \approx \theta\) عندما تكون \(\theta\) صغيرة. لذلك:

   \[
   \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \approx \frac{\pi}{x}
   \]

   وعليه:

   \[
   \sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right) \approx \left(\frac{\pi}{x}\right)^2
   \]

2. **تبسيط الكسر باستخدام التقريب:**

   \[
   \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1 - x} \approx \frac{\left(\frac{\pi}{x}\right)^2}{1 - x}
   \]

3. **تبسيط الكسور:**

   \[
   \frac{\left(\frac{\pi}{x}\right)^2}{1 - x} = \frac{\frac{\pi^2}{x^2}}{1 - x}
   \]

4. **حد النهاية:**

   لنحسب الحد عندما \( x \to \infty \):

   \[
   \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi^2}{x^2}}{1 - x}
   \]

   عندما \( x \to \infty \)، فإن \( 1 - x \approx -x \). لذلك، يمكننا تبسيط الكسر إلى:

   \[
   \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\pi^2}{x^2}}{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\pi^2}{-x^3}
   \]

   وعندما \( x \to \infty \):

   \[
   \frac{\pi^2}{x^3} \to 0
   \]

   وبالتالي:

   \[
   \lim_{x \to \infty} \frac{\pi^2}{-x^3} = 0
   \]

### النتيجة:

\[
\boxed{0}
\]

هل تحتاج إلى تفاصيل إضافية أو أي أسئلة أخرى؟

### أسئلة مقترحة:
1. كيف يمكن حساب النهاية عندما يكون البسط والمقام معقدين؟
2. ما هي الخصائص التي يمكن استخدامها لتبسيط الدوال المثلثية؟
3. كيف يمكن استخدام قواعد المستشفى لحل النهايات غير المحددة؟
4. كيف نميز بين النهايات ذات الشكل غير المحدد؟
5. ما هي الطريقة الأفضل لتحليل النهايات عند الاقتراب من المالانهاية؟

### نصيحة:
عند حساب النهايات، حاول تبسيط التعبيرات المعقدة باستخدام التقريبات المناسبة للدوال الرياضية عندما تقترب من حدود معينة.

Explore the solution to the limit problem \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{x}\right)}{1 - x} \). Understand the asymptotic behavior of trigonometric functions in limits. Suitable for university-level students and anyone interested in advanced calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation