三次方程求根公式的推导是一个复杂的过程，通常称为卡尔丹公式。我们从一般形式的三次方程开始：

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

通过一系列变换和替换，最终找到其根的表达式。以下是推导过程的主要步骤：

1. **标准化**：
   将三次方程标准化，假设 \( a = 1 \)（如果 \( a \neq 1 \)，则除以 \( a \)），方程变为：
   \[ x^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

2. **去二次项**：
   为了简化方程，我们使用代换 \( x = y - \frac{b}{3} \) 来消除二次项。代入后得到的新方程为：
   \[ y^3 + py + q = 0 \]
   其中：
   \[ p = c - \frac{b^2}{3} \]
   \[ q = \frac{2b^3}{27} - \frac{bc}{3} + d \]

3. **求解二次方程**：
   接下来，我们使用卡尔丹公式来解决这个无二次项的三次方程。假设 \( y = u + v \)，那么方程变为：
   \[ (u+v)^3 + p(u+v) + q = 0 \]

   展开并合并同类项后得到：
   \[ u^3 + v^3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 \]

   选择 \( u \) 和 \( v \) 满足：
   \[ u^3 + v^3 + q = 0 \]
   \[ 3uv + p = 0 \]

4. **解代数方程**：
   从上面两个方程可以解得：
   \[ v = -\frac{p}{3u} \]
   将其代入 \( u^3 + v^3 + q = 0 \) 中，得到：
   \[ u^3 - \frac{p^3}{27u^3} + q = 0 \]
   这可以变成一个关于 \( u^3 \) 的二次方程：
   \[ (u^3)^2 + q(u^3) - \frac{p^3}{27} = 0 \]

   设 \( z = u^3 \)，则上式变为：
   \[ z^2 + qz - \frac{p^3}{27} = 0 \]

5. **解二次方程**：
   通过求解上述二次方程，我们得到：
   \[ z = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} \]

   取 \( u^3 = z_1 \) 和 \( v^3 = z_2 \)，则：
   \[ u = \sqrt[3]{z_1} \]
   \[ v = \sqrt[3]{z_2} \]

6. **求解 y**：
   通过 \( y = u + v \)，我们得到了原方程的一个根 \( y \)。

7. **还原 x**：
   最后，回代 \( x = y - \frac{b}{3} \) 得到原方程的根。

整个推导过程涉及复杂的代数技巧和技巧，特别是在处理根号和立方根时。

如果有任何细节或步骤需要进一步解释，请告诉我。

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### 提示
在处理复杂方程时，适当的代换和简化可以大大简化计算过程。

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