Il semble qu'il y ait des ambiguïtés dans l'énoncé, en particulier dans les expressions mathématiques et les notations. Je vais reformuler ce que je comprends de votre question en essayant de clarifier.

Première partie :

1) Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}$, $x(1 - x)$.

Cette partie semble incomplète. Généralement, une question comme celle-ci vous demanderait de prouver une propriété spécifique de l'expression $x(1 - x)$, par exemple, montrer qu'elle est toujours non négative ou toujours inférieure à une certaine valeur pour $x \in [0,1]$.

Prenons un exemple pour clarifier :

• Expression : $f(x) = x(1 - x)$
• Objectif possible : Montrer que $f(x) \geq 0$ pour $x \in [0,1]$.

Solution : $f(x) = x(1 - x) = x - x^2$.

Le domaine $[0,1]$ signifie que $x \in [0,1]$, donc $0 \leq x \leq 1$. Pour montrer que $f(x) \geq 0$, on peut étudier la forme du polynôme quadratique.

1. Forme canonique : $f(x) = -(x^2 - x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}$.

   Cette réécriture montre que la fonction est un polynôme du second degré qui atteint son maximum à $x = \frac{1}{2}$, avec une valeur maximale de $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$.

2. Étude des limites :

   • À $x = 0$, $f(0) = 0$.
   • À $x = 1$, $f(1) = 0$.
   • Entre ces deux points, $f(x) \geq 0$, et son maximum est atteint en $x = \frac{1}{2}$.

Conclusion : pour $x \in [0,1]$, l'expression $x(1 - x)$ est toujours positive ou nulle.

Deuxième partie :

Le reste de l'énoncé contient des notations inhabituelles ou des erreurs de frappe. Je vais essayer de reformuler ce que je comprends :

Soient $a$, $b$, et $c$ trois réels de l'intervalle [0,1].

L'expression donnée est difficile à interpréter précisément. Peut-être que vous cherchez à démontrer une relation entre ces trois réels en utilisant des produits comme $a(1 - a)$, $b(1 - b)$, etc.

Est-ce que vous pourriez préciser l'expression ou l'objectif ? Cela m'aidera à vous fournir une solution correcte.

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Si vous avez des questions ou souhaitez des détails supplémentaires, n’hésitez pas à me demander !

Voici quelques questions pour approfondir le sujet :

1. Pourquoi l’expression $x(1 - x)$ est-elle utile dans certaines applications géométriques ?
2. Quel est le comportement de $x(1 - x)$ en dehors de l’intervalle [0,1] ?
3. Comment peut-on généraliser l’étude d’un polynôme du second degré ?
4. Comment interpréter géométriquement l’intervalle $[0,1]$ pour les réels $a$, $b$, et $c$ ?
5. Comment prouver une inégalité entre trois réels dans un intervalle donné ?

Tip : Quand vous travaillez avec des intervalles, il est souvent utile d'examiner les points frontières pour comprendre le comportement d'une fonction.