已知定义域为(a, +∞)的函数f(x)=x+1/(x-a)存在两个零点, 求实数a的取值范围. 

已知函数 \( f(x) = x + \frac{1}{x - a} \) 在定义域为 \( (a, +∞) \) 内存在两个零点。求实数 \( a \) 的取值范围。

首先，函数的零点满足 \( f(x) = 0 \)，即：
\[ x + \frac{1}{x - a} = 0 \]
我们整理方程得到：
\[ x(x - a) + 1 = 0 \]
\[ x^2 - ax + 1 = 0 \]

为了使这个二次方程在定义域 \( (a, +∞) \) 内有两个零点，必须满足判别式大于零，并且两个解都大于 \( a \)。

1. 判别式大于零：
\[ \Delta = a^2 - 4 > 0 \]
\[ a^2 > 4 \]
\[ |a| > 2 \]

2. 解大于 \( a \)：
设方程的两个解为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，由韦达定理可知：
\[ x_1 + x_2 = a \]
\[ x_1 x_2 = 1 \]

我们需要 \( x_1 > a \) 且 \( x_2 > a \)。显然，对于两个解的积等于 1，且 \( x_1 + x_2 = a \) 的情况下，这两个解不可能都大于 \( a \)，所以需要 \( a < 0 \)。

综合这两个条件：
\[ a < -2 \]

因此，实数 \( a \) 的取值范围为：
\[ a < -2 \]

你是否需要更多的详细解释或有其他问题？下面是一些你可以继续提问的示例：

1. 如何解二次方程？
2. 韦达定理的应用？
3. 二次函数的判别式是如何确定根的个数的？
4. 如何确定二次方程解的范围？
5. 有哪些方法可以判断方程根的正负性？

**小贴士**: 解决二次方程时，先使用判别式判断解的个数，再结合题目条件筛选合适的解。

Explore how to determine the range of real numbers for the function f(x) = x + 1/(x - a) with detailed steps and solutions. This problem involves quadratic equations, inequalities, and the application of Vieta's formulas. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation