Pour montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $x(1 - x) \leq \frac{1}{4}$, nous allons utiliser une approche par analyse fonctionnelle en étudiant la fonction $f(x) = x(1 - x)$.

Étape 1 : Étude de la fonction $f(x) = x(1 - x)$

Nous avons $f(x) = x(1 - x) = x - x^2$.

Étape 2 : Dérivation de $f(x)$

Pour déterminer le maximum de $f(x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$, calculons la dérivée de $f(x)$ :

$f'(x) = 1 - 2x$

Étape 3 : Trouver les points critiques

Nous cherchons les points où $f'(x) = 0$ :

$1 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}$

Étape 4 : Calcul de $f(x)$ au point critique et aux bornes

Nous évaluons maintenant la fonction $f(x)$ au point critique $x = \frac{1}{2}$ et aux bornes de l'intervalle $[0, 1]$.

• Pour $x = 0$, on a $f(0) = 0(1 - 0) = 0$.
• Pour $x = 1$, on a $f(1) = 1(1 - 1) = 0$.
• Pour $x = \frac{1}{2}$, on a :

$f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Étape 5 : Conclusion

Le maximum de la fonction $f(x) = x(1 - x)$ sur l'intervalle $[0, 1]$ est atteint pour $x = \frac{1}{2}$, et ce maximum vaut $\frac{1}{4}$.

Ainsi, pour tout $x \in [0, 1]$, on a bien $x(1 - x) \leq \frac{1}{4}$.

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Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions liées :

1. Comment prouver cette inégalité en utilisant une méthode géométrique ?
2. Peut-on trouver des bornes supérieures différentes pour d'autres intervalles ?
3. Quelle est l'interprétation graphique de la fonction $f(x) = x(1 - x)$ ?
4. Pourquoi la dérivation permet-elle de trouver les maxima et minima ?
5. Comment démontrer cette inégalité par une approche sans dérivées ?

Astuce : Pour maximiser une fonction quadratique $ax^2 + bx + c$, vérifiez toujours la valeur de son sommet, $x = -\frac{b}{2a}$.