Montrer que pour tout x appertenant [0;1], x(1-x) <=1/4

Pour montrer que pour tout \( x \in [0, 1] \), on a \( x(1 - x) \leq \frac{1}{4} \), nous allons utiliser une approche par analyse fonctionnelle en étudiant la fonction \( f(x) = x(1 - x) \).

### Étape 1 : Étude de la fonction \( f(x) = x(1 - x) \)
Nous avons \( f(x) = x(1 - x) = x - x^2 \).

### Étape 2 : Dérivation de \( f(x) \)
Pour déterminer le maximum de \( f(x) \) sur l'intervalle \( [0, 1] \), calculons la dérivée de \( f(x) \) :

\[
f'(x) = 1 - 2x
\]

### Étape 3 : Trouver les points critiques
Nous cherchons les points où \( f'(x) = 0 \) :

\[
1 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}
\]

### Étape 4 : Calcul de \( f(x) \) au point critique et aux bornes
Nous évaluons maintenant la fonction \( f(x) \) au point critique \( x = \frac{1}{2} \) et aux bornes de l'intervalle \( [0, 1] \).

- Pour \( x = 0 \), on a \( f(0) = 0(1 - 0) = 0 \).
- Pour \( x = 1 \), on a \( f(1) = 1(1 - 1) = 0 \).
- Pour \( x = \frac{1}{2} \), on a :

\[
f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

### Étape 5 : Conclusion
Le maximum de la fonction \( f(x) = x(1 - x) \) sur l'intervalle \( [0, 1] \) est atteint pour \( x = \frac{1}{2} \), et ce maximum vaut \( \frac{1}{4} \).

Ainsi, pour tout \( x \in [0, 1] \), on a bien \( x(1 - x) \leq \frac{1}{4} \).

---

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions liées :
1. Comment prouver cette inégalité en utilisant une méthode géométrique ?
2. Peut-on trouver des bornes supérieures différentes pour d'autres intervalles ?
3. Quelle est l'interprétation graphique de la fonction \( f(x) = x(1 - x) \) ?
4. Pourquoi la dérivation permet-elle de trouver les maxima et minima ?
5. Comment démontrer cette inégalité par une approche sans dérivées ?

**Astuce** : Pour maximiser une fonction quadratique \( ax^2 + bx + c \), vérifiez toujours la valeur de son sommet, \( x = -\frac{b}{2a} \).

Montrer que pour tout x appartenant à [0;1], x(1-x) <= 1/4

Explore how to prove that for any x in [0,1], the inequality x(1-x) ≤ 1/4 holds. This solution uses function analysis, differentiation, and quadratic function properties. The problem is suitable for high school students learning about algebra and inequalities.

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