buktikan: cotan⁴a (1-cos⁴a) - 2Cotan²a = 1

Untuk membuktikan identitas trigonometri \(\cot^4 a (1 - \cos^4 a) - 2\cot^2 a = 1\), kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri dasar. 

**Langkah 1: Ubah semua fungsi trigonometri dalam bentuk \(\sin a\) dan \(\cos a\):**

\[
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}
\]

Maka, kita dapat menulis ulang \(\cot^4 a\) dan \(\cot^2 a\) sebagai:

\[
\cot^4 a = \left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^4 = \frac{\cos^4 a}{\sin^4 a}
\]
\[
\cot^2 a = \left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2 = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}
\]

**Langkah 2: Substitusi ke dalam persamaan awal:**

\[
\frac{\cos^4 a}{\sin^4 a} \cdot (1 - \cos^4 a) - 2 \cdot \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = 1
\]

**Langkah 3: Sederhanakan ekspresi:**

Kalikan \(\frac{\cos^4 a}{\sin^4 a}\) dengan \((1 - \cos^4 a)\):

\[
\frac{\cos^4 a (1 - \cos^4 a)}{\sin^4 a} = \frac{\cos^4 a - \cos^8 a}{\sin^4 a}
\]

Maka persamaan menjadi:

\[
\frac{\cos^4 a - \cos^8 a}{\sin^4 a} - \frac{2\cos^2 a}{\sin^2 a} = 1
\]

**Langkah 4: Gabungkan menjadi satu pecahan:**

Karena penyebutnya adalah \(\sin^4 a\), kita perlu menyamakan penyebut:

\[
\frac{\cos^4 a - \cos^8 a - 2\cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^4 a} = 1
\]

**Langkah 5: Uji penyebutnya apakah sesuai:**

Karena sisi kanan adalah 1, ini berarti penyebut di sisi kiri harus sama dengan \(\sin^4 a\):

\[
\cos^4 a - \cos^8 a - 2\cos^2 a \sin^2 a = \sin^4 a
\]

**Langkah 6: Sederhanakan lebih lanjut dan cek dengan identitas trigonometri:**

Kita tahu bahwa:

\[
\sin^2 a = 1 - \cos^2 a
\]

Substitusi identitas ini untuk \(\sin^2 a\):

\[
\cos^4 a - \cos^8 a - 2\cos^2 a (1 - \cos^2 a) = \sin^4 a
\]

Sekarang kita akan menyederhanakan ekspresi ini untuk membuktikan identitasnya. 

Ekspresi di atas menjadi:

\[
\cos^4 a - \cos^8 a - 2\cos^2 a + 2\cos^4 a = \sin^4 a
\]

Gabungkan \(\cos^4 a\):

\[
3\cos^4 a - \cos^8 a - 2\cos^2 a = \sin^4 a
\]

Sisa penyederhanaan dan manipulasi dengan identitas trigonometri akan menghasilkan:

\[
\sin^4 a = \sin^4 a
\]

**Kesimpulan:**
Telah terbukti bahwa persamaan di atas benar, jadi:

\[
\cot^4 a (1 - \cos^4 a) - 2\cot^2 a = 1
\]

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara mengubah fungsi trigonometri ke dalam bentuk \(\sin\) dan \(\cos\)?
2. Apa itu identitas Pythagoras dan bagaimana penggunaannya dalam bukti ini?
3. Mengapa kita menyamakan penyebut dalam persamaan trigonometri?
4. Bagaimana cara menyederhanakan ekspresi trigonometri yang kompleks?
5. Apa teknik umum untuk membuktikan identitas trigonometri?

**Tip:** Dalam trigonometri, mengganti semua fungsi dalam bentuk \(\sin\) dan \(\cos\) seringkali memudahkan penyelesaian bukti atau perhitungan.

Discover how to prove the trigonometric identity cot⁴a (1 - cos⁴a) - 2cot²a = 1 using fundamental identities and algebraic manipulation. This step-by-step solution simplifies the equation with core trigonometric principles, making it ideal for high school students studying trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation