برای انتگرال دوم دوباره معکوس تبدیل لاپلاس رو حساب میکنی با جزییات بیشتر 

برای محاسبه دقیق‌تر انتگرال دوم و معکوس تبدیل لاپلاس، مراحل زیر را با جزئیات کامل انجام می‌دهیم.

#### انتگرال دوم:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
\]

ابتدا از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم تا تابع را به فرم مناسب تبدیل کنیم.

##### مرحله ۱: تبدیل لاپلاس تابع \( e^{-ax} \sin(bx) \)
تابع \( e^{-ax} \sin(bx) \) را در نظر می‌گیریم:
\[
f(x) = e^{-ax} \sin(bx)
\]

تبدیل لاپلاس \( f(x) \) برابر است با:
\[
\mathcal{L}\{e^{-ax} \sin(bx)\} = \int_0^\infty e^{-sx} e^{-ax} \sin(bx) \, dx
\]

این عبارت را ساده می‌کنیم:
\[
\mathcal{L}\{e^{-ax} \sin(bx)\} = \int_0^\infty e^{-(s+a)x} \sin(bx) \, dx
\]

##### مرحله ۲: استفاده از تبدیل لاپلاس سینوس
تبدیل لاپلاس تابع \( \sin(bx) \) برابر است با:
\[
\mathcal{L}\{\sin(bx)\} = \frac{b}{s^2 + b^2}
\]

بنابراین:
\[
\mathcal{L}\{e^{-(s+a)x} \sin(bx)\} = \frac{b}{(s+a)^2 + b^2}
\]

حال باید معکوس این تبدیل لاپلاس را پیدا کنیم تا به انتگرال اصلی برسیم.

##### مرحله ۳: معکوس تبدیل لاپلاس
معکوس تبدیل لاپلاس:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{b}{(s+a)^2 + b^2} \right\}
\]

این فرم معکوس تبدیل لاپلاس شناخته شده‌ای است و برابر است با:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{b}{(s+a)^2 + b^2} \right\} = e^{-ax} \sin(bx)
\]

##### مرحله ۴: اعمال نتیجه به انتگرال اصلی
با استفاده از نتیجه معکوس تبدیل لاپلاس، انتگرال را محاسبه می‌کنیم:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
\]

می‌دانیم که:
\[
\mathcal{L}\left\{ \frac{1}{x} \right\} = \ln\left(\frac{b}{a}\right)
\]

بنابراین:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

### نتیجه نهایی:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

آیا سوالات یا بخش دیگری هست که مایل به بررسی آن باشید؟ در اینجا چند سوال برای بررسی بیشتر:

1. نحوه محاسبه تبدیل لاپلاس یک تابع داده شده چیست؟
2. ویژگی‌های تبدیل لاپلاس که حل معادلات دیفرانسیل را ساده می‌کند چیست؟
3. چگونه می‌توان یک تبدیل لاپلاس معکوس را برای یک تابع پیچیده حل کرد؟
4. انتگرال‌های کانولوشن چگونه با استفاده از تبدیل لاپلاس ارزیابی می‌شوند؟
5. برخی کاربردهای عملی تبدیل لاپلاس در مهندسی و فیزیک چیست؟

### نکته:
هنگام حل انتگرال‌ها با استفاده از تبدیل لاپلاس، همیشه بررسی کنید که آیا انتگرال به یک فرم استاندارد می‌گنجد یا می‌توان آن را با استفاده از ویژگی‌های شناخته شده تبدیل لاپلاس ساده کرد.

Get a detailed solution on how to calculate the second integral and inverse Laplace transform. This problem delves into integral calculus, Laplace transform, and inverse Laplace transform. Suitable for advanced college-level students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation