نفهمیدم باز. آخرشو که تبدیل لاپلاس رو انجام میدی و داخل انتگرال قرار میدی رو نمیفهمم

متوجه شدم. بیایید با دقت بیشتری معکوس تبدیل لاپلاس را حساب کنیم و نشان دهیم که چطور به انتگرال اصلی می‌رسیم.

### حل دقیق انتگرال:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
\]

#### ۱. محاسبه تبدیل لاپلاس \(e^{-ax} \sin(bx)\):
تابع:
\[
f(t) = e^{-at} \sin(bt)
\]

تبدیل لاپلاس \(f(t)\):
\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt
\]

بنابراین:
\[
\mathcal{L}\{e^{-at} \sin(bt)\} = \int_0^\infty e^{-st} e^{-at} \sin(bt) \, dt
\]
\[
\mathcal{L}\{e^{-at} \sin(bt)\} = \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \sin(bt) \, dt
\]

#### ۲. تبدیل لاپلاس سینوس:
\[
\mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2 + b^2}
\]

حال با جایگزینی \(s\) با \(s + a\):
\[
\mathcal{L}\{e^{-at} \sin(bt)\} = \frac{b}{(s + a)^2 + b^2}
\]

#### ۳. معکوس تبدیل لاپلاس:
می‌خواهیم:
\[
\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{b}{(s + a)^2 + b^2} \right\} = e^{-at} \sin(bt)
\]

ما به دنبال معکوس تبدیل لاپلاس این عبارت هستیم تا به تابع اصلی برسیم:
\[
\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{b}{(s + a)^2 + b^2} \right\}
\]

این معکوس تبدیل لاپلاس شناخته شده است و به این شکل است:
\[
e^{-at} \sin(bt)
\]

#### ۴. استفاده از نتیجه:
با استفاده از نتیجه معکوس تبدیل لاپلاس، داریم:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \int_0^\infty e^{-ax} \sin(bx) \, dx
\]

نتیجه معکوس تبدیل لاپلاس:
\[
e^{-ax} \sin(bx)
\]

با توجه به اینکه این نتیجه معکوس تبدیل لاپلاس، انتگرال ما به صورت:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

### نتیجه نهایی:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

آیا سوالات یا بخش دیگری هست که مایل به بررسی آن باشید؟ در اینجا چند سوال برای بررسی بیشتر:

1. نحوه محاسبه تبدیل لاپلاس یک تابع داده شده چیست؟
2. ویژگی‌های تبدیل لاپلاس که حل معادلات دیفرانسیل را ساده می‌کند چیست؟
3. چگونه می‌توان یک تبدیل لاپلاس معکوس را برای یک تابع پیچیده حل کرد؟
4. انتگرال‌های کانولوشن چگونه با استفاده از تبدیل لاپلاس ارزیابی می‌شوند؟
5. برخی کاربردهای عملی تبدیل لاپلاس در مهندسی و فیزیک چیست؟

### نکته:
هنگام حل انتگرال‌ها با استفاده از تبدیل لاپلاس، همیشه بررسی کنید که آیا انتگرال به یک فرم استاندارد می‌گنجد یا می‌توان آن را با استفاده از ویژگی‌های شناخته شده تبدیل لاپلاس ساده کرد.

Learn how to compute the inverse Laplace transform of e^{-at} \sin(bt) and its application to evaluating the integral \int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right). This problem covers Laplace transform properties, inverse Laplace transform, and integral calculus, suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation