نتیجه نهایی رو با جزییات که چطور بدست میاد رو نمیفهمم

متوجه شدم. بیایید با جزئیات بیشتری معکوس تبدیل لاپلاس و نحوه بدست آمدن نتیجه نهایی را توضیح دهیم.

### مراحل جزئیات محاسبه انتگرال \(\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx\):

#### ۱. تبدیل لاپلاس \( e^{-ax} \sin(bx) \):
ابتدا تابع \( e^{-ax} \sin(bx) \) را در نظر می‌گیریم:
\[
f(x) = e^{-ax} \sin(bx)
\]

تبدیل لاپلاس تابع \( f(x) \) به صورت زیر است:
\[
\mathcal{L}\{f(x)\} = \int_0^\infty e^{-sx} f(x) \, dx
\]

بنابراین:
\[
\mathcal{L}\{e^{-ax} \sin(bx)\} = \int_0^\infty e^{-sx} e^{-ax} \sin(bx) \, dx
\]
\[
\mathcal{L}\{e^{-ax} \sin(bx)\} = \int_0^\infty e^{-(s+a)x} \sin(bx) \, dx
\]

#### ۲. استفاده از تبدیل لاپلاس \(\sin(bx)\):
تبدیل لاپلاس تابع \(\sin(bx)\) به صورت زیر است:
\[
\mathcal{L}\{\sin(bx)\} = \frac{b}{s^2 + b^2}
\]

بنابراین:
\[
\mathcal{L}\{e^{-(s+a)x} \sin(bx)\} = \frac{b}{(s+a)^2 + b^2}
\]

#### ۳. معکوس تبدیل لاپلاس:
حال باید معکوس تبدیل لاپلاس \(\frac{b}{(s+a)^2 + b^2}\) را پیدا کنیم:
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{b}{(s + a)^2 + b^2} \right\}
\]

این فرم شناخته شده‌ای از معکوس تبدیل لاپلاس است و برابر است با:
\[
e^{-ax} \sin(bx)
\]

#### ۴. استفاده از نتیجه معکوس تبدیل لاپلاس:
به عبارت دیگر، اگر \(\mathcal{L}\{f(x)\} = \frac{b}{(s+a)^2 + b^2}\)، آنگاه \(f(x) = e^{-ax} \sin(bx)\).

#### ۵. استفاده از نتیجه نهایی:
با توجه به اینکه انتگرال اصلی ما به فرم \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{b}{(s + a)^2 + b^2}\right\}\) در می‌آید، داریم:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
\]

این انتگرال به معکوس تبدیل لاپلاس \(\frac{b}{(s + a)^2 + b^2}\) تبدیل می‌شود که همان \(\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\) است.

#### ۶. نتیجه نهایی:
\[
\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
\]

### نکته تکمیلی:
برای درک بهتر نتیجه نهایی، توجه کنید که \(\mathcal{L}^{-1}\) عملکردی است که به ما کمک می‌کند تا تابع اصلی را از تبدیل آن بازگردانیم. در اینجا تبدیل لاپلاس \(\frac{b}{(s + a)^2 + b^2}\) را معکوس می‌کنیم تا به تابع \(e^{-ax} \sin(bx)\) برسیم. سپس از این تابع برای ارزیابی انتگرال استفاده می‌کنیم.

آیا این توضیحات کمک کرد؟ اگر نیاز به جزئیات بیشتری دارید، لطفاً بگویید.

Explore the detailed steps involved in calculating the inverse Laplace transform for the function e^{-ax} \sin(bx). Learn about key formulas and theorems related to Laplace and inverse Laplace transforms. Suitable for advanced undergraduate students and learners interested in integral calculus and transform theory.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation