حل کامل بخش ۳ از تمرینات با جزئیات ریاضی

انتگرال اول:

$\int_0^\infty \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \, dx$

راه حل: $\int_0^\infty \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \, dx = \int_0^\infty \frac{e^{-ax}}{x} \, dx - \int_0^\infty \frac{e^{-bx}}{x} \, dx$

از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم: $\mathcal{L}\left\{ \frac{1}{s} \right\} = \int_0^\infty e^{-sx} \, dx = \frac{1}{s}$

بنابراین: $\int_0^\infty \frac{e^{-ax}}{x} \, dx = \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ $\int_0^\infty \frac{e^{-bx}}{x} \, dx = \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$

نتیجه: $-\ln(a) - (-\ln(b)) = \ln(b) - \ln(a) = \ln\left(\frac{b}{a}\right)$

پس: $\int_0^\infty \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \, dx = \ln\left(\frac{b}{a}\right)$

انتگرال دوم:

$\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx$

راه حل: از تبدیل لاپلاس استفاده می‌کنیم: $\mathcal{L}\left\{ \sin(bx) \right\} = \frac{b}{s^2 + b^2}$

بنابراین: $\mathcal{L}\left\{ e^{-ax} \sin(bx) \right\} = \frac{b}{(s+a)^2 + b^2}$

ما به دنبال معکوس تبدیل لاپلاس هستیم: $\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

نتیجه: $\int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

پاسخ نهایی:

$1. \int_0^\infty \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} \, dx = \ln\left(\frac{b}{a}\right)$ $2. \int_0^\infty \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$

آیا سوالات یا بخش دیگری هست که مایل به بررسی آن باشید؟ در اینجا چند سوال برای بررسی بیشتر:

1. نحوه محاسبه تبدیل لاپلاس یک تابع داده شده چیست؟
2. ویژگی‌های تبدیل لاپلاس که حل معادلات دیفرانسیل را ساده می‌کند چیست؟
3. چگونه می‌توان یک تبدیل لاپلاس معکوس را برای یک تابع پیچیده حل کرد؟
4. انتگرال‌های کانولوشن چگونه با استفاده از تبدیل لاپلاس ارزیابی می‌شوند؟
5. برخی کاربردهای عملی تبدیل لاپلاس در مهندسی و فیزیک چیست؟

نکته:

هنگام حل انتگرال‌ها با استفاده از تبدیل لاپلاس، همیشه بررسی کنید که آیا انتگرال به یک فرم استاندارد می‌گنجد یا می‌توان آن را با استفاده از ویژگی‌های شناخته شده تبدیل لاپلاس ساده کرد.