Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 > 0 và un+1 = un+ n/un 
với mỗi n ⩾ 1. Tính lim un/n
 
 .

Cho dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(u_1 > 0\) và \(u_{n+1} = u_n + \frac{n}{u_n}\) với mỗi \(n \geq 1\). Đề bài yêu cầu tính giới hạn:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{n}
\]

### Bước 1: Giả sử giới hạn tồn tại
Giả sử \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{n} = L\) với \(L\) là một hằng số. Điều này có nghĩa là khi \(n \to \infty\), ta có \(u_n \approx Ln\).

### Bước 2: Xét công thức truy hồi
Từ công thức truy hồi:

\[
u_{n+1} = u_n + \frac{n}{u_n}
\]

Chia cả hai vế của phương trình cho \(n+1\):

\[
\frac{u_{n+1}}{n+1} = \frac{u_n}{n+1} + \frac{\frac{n}{u_n}}{n+1}
\]

Khi \(n\) rất lớn, ta có \(u_n \approx Ln\), nên:

\[
\frac{n}{u_n} \approx \frac{n}{Ln} = \frac{1}{L}
\]

Do đó, phương trình trên trở thành:

\[
\frac{u_{n+1}}{n+1} \approx \frac{u_n}{n+1} + \frac{1}{n+1}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị của \(L\)
Khi \(n \to \infty\), ta có:

\[
\frac{u_{n+1}}{n+1} \approx \frac{u_n}{n} \approx L
\]

Phương trình truy hồi trở thành:

\[
L = L + \frac{1}{L}
\]

Điều này dẫn đến phương trình:

\[
\frac{1}{L} = 0
\]

Do đó, \(L = 1\).

### Kết luận:
Giới hạn cần tìm là:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{n} = 1
\]

Bạn có câu hỏi nào cần giải thích thêm không?

### Câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để chứng minh dãy số \((u_n)\) là tăng dần?
2. Điều kiện nào đảm bảo rằng giới hạn của \(\frac{u_n}{n}\) tồn tại?
3. Có thể áp dụng phương pháp khác để tìm giới hạn của dãy không?
4. Dãy \((u_n)\) có hội tụ về một giá trị xác định khi \(n \to \infty\) không?
5. Giới hạn \(\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{n}\) có phụ thuộc vào \(u_1\) không?

### Mẹo:
Khi tính giới hạn của dãy số, nếu dãy có dạng truy hồi, một phương pháp thường dùng là giả sử giới hạn tồn tại và khai triển các công thức để tìm ra hằng số.

Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 > 0 và un+1 = un + n/un với mỗi n ⩾ 1. Tính lim un/n.

Giải chi tiết bài toán dãy số truy hồi un+1 = un + n/un với n ⩾ 1. Phân tích giới hạn của dãy và tìm lim (un/n) khi n tiến đến vô cùng. Bài toán bao gồm các khái niệm về giới hạn và phương trình truy hồi, phù hợp với sinh viên toán cấp đại học.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation