 on considère la suite Un définie par U0 = 2 et appartenant à tout N qui appartient à un nombre réel un plus un = 1 + 3 un sur un + 3 démontrer par récurrence que la suite un est minorée par 1

Pour démontrer par récurrence que la suite \((u_n)\) définie par \( u_0 = 2 \) et pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_{n+1} = 1 + \frac{3u_n}{u_n + 3} \), est minorée par 1, nous allons procéder en deux étapes : 

1. **Initialisation** : Vérifier que \( u_0 \geq 1 \).
2. **Hérédité** : Supposons que pour un certain entier \( n \geq 0 \), \( u_n \geq 1 \) est vrai, et montrons que cela implique \( u_{n+1} \geq 1 \).

### 1. Initialisation
On commence par vérifier si la propriété est vraie pour \( n = 0 \) :

\[ u_0 = 2 \]

Étant donné que \( u_0 = 2 \geq 1 \), la propriété est vraie pour \( n = 0 \).

### 2. Hérédité
Supposons maintenant que pour un certain \( n \in \mathbb{N} \), on ait \( u_n \geq 1 \). Nous devons montrer que cela implique \( u_{n+1} \geq 1 \).

On sait que :
\[ u_{n+1} = 1 + \frac{3u_n}{u_n + 3} \]

Montrons que \( u_{n+1} \geq 1 \). Calculons :
\[ u_{n+1} - 1 = \frac{3u_n}{u_n + 3} \]

Or, \( u_n \geq 1 \), donc \( u_n + 3 \geq 1 + 3 = 4 \). De plus, \( 3u_n \geq 3 \) puisque \( u_n \geq 1 \).

Ainsi :
\[ \frac{3u_n}{u_n + 3} \geq \frac{3}{4} > 0 \]

Cela implique que :
\[ u_{n+1} = 1 + \frac{3u_n}{u_n + 3} \geq 1 + 0 = 1 \]

### Conclusion
Nous avons montré que \( u_0 \geq 1 \) et que si \( u_n \geq 1 \), alors \( u_{n+1} \geq 1 \). Par conséquent, par le principe de récurrence, la suite \((u_n)\) est minorée par 1 pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous d'autres questions ? 

Voici 5 questions relatives pour approfondir :

1. Quelle est la limite de la suite \((u_n)\) si elle existe ?
2. Peut-on démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante ou décroissante ?
3. Quelle est la somme partielle des premiers termes de la suite ?
4. Comment pourrait-on interpréter graphiquement la suite \((u_n)\) ?
5. Quelle serait l'évolution de la suite si la condition initiale \( u_0 \) changeait ?

**Tip** : Lorsqu'on travaille avec des suites définies par récurrence, il est souvent utile de tester les premiers termes pour se familiariser avec le comportement général de la suite.

on considère la suite Un définie par U0 = 2 et appartenant à tout N qui appartient à un nombre réel un plus un = 1 + 3 un sur un + 3 démontrer par récurrence que la suite un est minorée par 1

Explore the proof by induction that the sequence Un, defined by U0 = 2 and u_{n+1} = 1 + 3un/(un + 3), is bounded below by 1. This problem introduces key concepts in sequences, recurrence relations, and mathematical induction. Ideal for students in Grades 10-12.

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