Pour démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 1 + \frac{3u_n}{u_n + 3}$, est minorée par 1, nous allons procéder en deux étapes :

1. Initialisation : Vérifier que $u_0 \geq 1$.
2. Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n \geq 0$, $u_n \geq 1$ est vrai, et montrons que cela implique $u_{n+1} \geq 1$.

1. Initialisation

On commence par vérifier si la propriété est vraie pour $n = 0$ :

$u_0 = 2$

Étant donné que $u_0 = 2 \geq 1$, la propriété est vraie pour $n = 0$.

2. Hérédité

Supposons maintenant que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, on ait $u_n \geq 1$. Nous devons montrer que cela implique $u_{n+1} \geq 1$.

On sait que : $u_{n+1} = 1 + \frac{3u_n}{u_n + 3}$

Montrons que $u_{n+1} \geq 1$. Calculons : $u_{n+1} - 1 = \frac{3u_n}{u_n + 3}$

Or, $u_n \geq 1$, donc $u_n + 3 \geq 1 + 3 = 4$. De plus, $3u_n \geq 3$ puisque $u_n \geq 1$.

Ainsi : $\frac{3u_n}{u_n + 3} \geq \frac{3}{4} > 0$

Cela implique que : $u_{n+1} = 1 + \frac{3u_n}{u_n + 3} \geq 1 + 0 = 1$

Conclusion

Nous avons montré que $u_0 \geq 1$ et que si $u_n \geq 1$, alors $u_{n+1} \geq 1$. Par conséquent, par le principe de récurrence, la suite $(u_n)$ est minorée par 1 pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous d'autres questions ?

Voici 5 questions relatives pour approfondir :

1. Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ si elle existe ?
2. Peut-on démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante ou décroissante ?
3. Quelle est la somme partielle des premiers termes de la suite ?
4. Comment pourrait-on interpréter graphiquement la suite $(u_n)$ ?
5. Quelle serait l'évolution de la suite si la condition initiale $u_0$ changeait ?

Tip : Lorsqu'on travaille avec des suites définies par récurrence, il est souvent utile de tester les premiers termes pour se familiariser avec le comportement général de la suite.