Cho số nguyên n lớn hơn 1. Giả sử có n số nguyên dương k vượt quá 2n, nhưng bội chung nhỏ nhất của mỗi hai trong chúng >2n. Chứng minh rằng tất cả n số đều lớn hơn 2n/3

Chúng ta cần chứng minh rằng với \( n \) số nguyên dương \( k_1, k_2, \dots, k_n \) thỏa mãn:

- \( k_i \leq 2n \) với mọi \( i = 1, 2, \dots, n \),
- Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của mỗi cặp số bất kỳ \( k_i \) và \( k_j \) đều lớn hơn \( 2n \),

thì tất cả các số \( k_1, k_2, \dots, k_n \) đều lớn hơn \( \frac{2n}{3} \).

### Bước 1: Phản chứng

Giả sử ngược lại, tồn tại một số \( k_i \leq \frac{2n}{3} \). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng điều này mâu thuẫn với giả thiết về bội chung nhỏ nhất.

Giả sử \( k_i \leq \frac{2n}{3} \). Khi đó, do \( k_i \) là số nguyên dương và \( k_i \leq \frac{2n}{3} \), nên tồn tại một số nguyên dương \( k_j \) khác \( k_i \) sao cho \( k_j \leq 2n \) và \( k_j > \frac{2n}{3} \). Xét cặp \( (k_i, k_j) \):

- \( k_i \leq \frac{2n}{3} \) và \( k_j \leq 2n \), nhưng \( k_j > \frac{2n}{3} \).
- BCNN của \( k_i \) và \( k_j \), ký hiệu là \( \text{lcm}(k_i, k_j) \), không thể lớn hơn \( 2n \) vì \( k_i \) và \( k_j \) đều không đủ lớn để BCNN của chúng vượt quá \( 2n \). Thực tế, BCNN của chúng phải nhỏ hơn hoặc bằng tích của chúng, tức là:

\[
\text{lcm}(k_i, k_j) \leq \frac{2n}{3} \cdot 2n = \frac{4n^2}{3}.
\]

Tuy nhiên, từ giả thiết bài toán, chúng ta biết rằng \( \text{lcm}(k_i, k_j) > 2n \). Điều này mâu thuẫn với điều trên, vì tích \( \frac{4n^2}{3} \) nhỏ hơn nhiều so với điều kiện \( \text{lcm}(k_i, k_j) > 2n \).

### Bước 2: Kết luận

Sự mâu thuẫn trên xuất hiện do giả sử rằng có một số \( k_i \leq \frac{2n}{3} \). Do đó, tất cả các số \( k_1, k_2, \dots, k_n \) đều phải lớn hơn \( \frac{2n}{3} \).

### Kết luận cuối cùng:
Tất cả các số \( k_1, k_2, \dots, k_n \) đều lớn hơn \( \frac{2n}{3} \), điều phải chứng minh.

---

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào hoặc muốn thêm chi tiết về cách chứng minh này, hãy cho tôi biết nhé!

### Câu hỏi mở rộng:
1. Làm thế nào để tính bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số?
2. Điều gì sẽ xảy ra nếu điều kiện \( \text{lcm}(k_i, k_j) > 2n \) không đúng?
3. Có cách nào khác để chứng minh bài toán này không?
4. Tại sao \( k_i \) không thể nhỏ hơn hoặc bằng \( \frac{2n}{3} \) trong trường hợp này?
5. Tính toán tổng quát BCNN trong trường hợp \( k_1, k_2 \) với các giới hạn cho trước là gì?

### Mẹo: 
Bội chung nhỏ nhất của hai số là tích của chúng chia cho ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Giải bài toán số học về bội chung nhỏ nhất của n số nguyên dương k và chứng minh rằng tất cả các số này đều lớn hơn 2n/3. Phân tích sử dụng lý thuyết số và bất đẳng thức, thích hợp cho sinh viên đại học.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation