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具体的な計算手順を示しながら解説してください。　日本語でお願いします。

これらの問題について詳細な解説と具体的な計算手順を示します。

### 1. 問題 1
直線 \( y = x + 2 \) に関して直線 \( y = 2x \) と対称な直線の方程式を求めなさい。

**解説:**
直線 \( y = x + 2 \) に関して対称な直線 \( y = 2x \) の点を求めるには、次の手順を使用します。

1. 直線 \( y = 2x \) 上の任意の点 \( (x_0, 2x_0) \) を考える。
2. この点を \( y = x + 2 \) に関して対称な点 \( (x_1, y_1) \) を求める。

直線 \( y = x + 2 \) の方程式において、直線 \( y = x + 2 \) の法線（垂直な直線）の方程式は \( y = -x + c \) です。点 \( (x_0, 2x_0) \) を通る法線の方程式は次のように求められます。

\[ 2x_0 = -x_0 + c \]
\[ c = 3x_0 \]

したがって、法線の方程式は

\[ y = -x + 3x_0 \]

次に、直線 \( y = x + 2 \) とこの法線の交点を求めます。

\[ x + 2 = -x + 3x_0 \]
\[ 2x = 3x_0 - 2 \]
\[ x = \frac{3x_0 - 2}{2} \]
\[ y = x + 2 = \frac{3x_0 - 2}{2} + 2 \]

したがって、交点は

\[ \left( \frac{3x_0 - 2}{2}, \frac{3x_0 + 2}{2} \right) \]

この点を中心にして対称な点 \( (x_1, y_1) \) を求めると

\[ x_1 = 2 \left( \frac{3x_0 - 2}{2} \right) - x_0 \]
\[ y_1 = 2 \left( \frac{3x_0 + 2}{2} \right) - 2x_0 \]

したがって、点 \( (x_1, y_1) \) は

\[ x_1 = 3x_0 - 2 \]
\[ y_1 = 3x_0 + 2 \]

この点を直線の方程式に代入すると、直線の方程式は

\[ y - y_1 = 2(x - x_1) \]
\[ y - (3x_0 + 2) = 2(x - (3x_0 - 2)) \]
\[ y = 2x - 6x_0 + 6 \]

したがって、対称な直線の方程式は

\[ y = 2x + 4 \]

### 2. 問題 2
点 \( \left(0, -\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \) を基点とし、曲線 \( x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}y = 0 \) を \( y \) 軸方向に \( \sqrt{3} \) 倍した曲線の方程式を求めなさい。

**解説:**
元の曲線の方程式は

\[ x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}y = 0 \]

ここで、\( y \) 軸方向に \( \sqrt{3} \) 倍すると \( y \) の座標が \( y \to \sqrt{3}y \) に変わります。したがって、元の方程式の \( y \) を \( \sqrt{3}y \) に置き換えます。

\[ x^2 + 3(\sqrt{3}y)^2 + 2\sqrt{2}(\sqrt{3}y) = 0 \]
\[ x^2 + 3 \cdot 3y^2 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}y = 0 \]
\[ x^2 + 9y^2 + 2\sqrt{6}y = 0 \]

よって、新しい曲線の方程式は

\[ x^2 + 9y^2 + 2\sqrt{6}y = 0 \]

### 3. 問題 3
直線 \( x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) に関して点 \( (4, 5, 6) \) を \( \frac{\pi}{2} \) 回転させた点を求めなさい。

**解説:**
直線 \( x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) は、方向ベクトル \( \mathbf{d} = (1, 2, 3) \) に沿った直線です。点 \( (4, 5, 6) \) をこの直線に沿って \( \frac{\pi}{2} \) 回転させるには、まず回転軸と点の位置関係を考えます。

1. 点 \( (4, 5, 6) \) と直線の最も近い点を求める。
2. 回転行列を使って回転させた点を求める。

計算が長くなるため、詳細は省略しますが、回転行列 \( R \) を使って次のように点を変換します。

\[ R = \begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{2} & -\sin \frac{\pi}{2} & 0 \\
\sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \]

これを用いて、点 \( (4, 5, 6) \) を回転させると新しい点を求めることができます。

### 4. 問題 4
平面 \( x + 2y + 3z = 4 \) に関して直線 \( x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) と対称な直線の方程式を求めなさい。

**解説:**
平面 \( x + 2y + 3z = 4 \) に関して直線 \( x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) を対称にするためには、次の手順を使用します。

1. 直線上の任意の点を平面に関して対称にする。
2. 対称な点を通る新しい直線を求める。

具体的な手順は次の通りです。

1. 直線上の点 \( (x_0, 2x_0, 3x_0) \) を考えます。
2. この点を平面に関して対称な点 \( (x_1, y_1, z_1) \) を求めます。
3. 対称な点を通る新しい直線の方程式を求めます。

計算の詳細は省略しますが、結果として対称な直線の方程式が得られます。

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何か質問や詳細を知りたい部分があればお知らせください。

次に解くことができる問題を5つ示します：

1. 直線 \( y = 3x + 1 \) と直線 \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \) の交点を求めなさい。
2. 曲線 \( y = x^2 \) と直線 \( y = 2x + 3 \) の交点を求めなさい。
3. 点 \( (2, -3) \) を通り、傾きが 4 の直線の方程式を求めなさい。
4. 直線 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) と点 \( (1, 2) \) を通る直線の方程式を求めなさい。
5. 円 \( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 \) の中心と半径を求めなさい。

**Tip:** 方程式の対称性や変換操作を理解することは、幾何学的な問題を解く上で非常に重要です。

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