U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac 2x - 3y + 12 = 0

a) Odredi prikloni kut tog pravca

b) Odredi površinu trokuta koju taj pravac zatvara s koordinatnim osima. c) Odredi jednadžbu kružnice opisane tom trokutu.

Za početak, riješimo zadatak korak po korak.

### a) Priklonni kut pravca

Imamo jednadžbu pravca:

\[ 2x - 3y + 12 = 0 \]

Prvo, prebacimo jednadžbu u eksplicitni oblik \( y = mx + n \):

\[ 3y = 2x + 12 \]

\[ y = \frac{2}{3}x + 4 \]

Koeficijent smjera \( m = \frac{2}{3} \). Priklonni kut \( \alpha \) između pravca i pozitivnog dijela osi \( x \) određuje se kao:

\[ \tan(\alpha) = m \]

Dakle:

\[ \alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \]

### b) Površina trokuta kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima

Trokut kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima ima vrhove u točkama gdje pravac siječe osi. Te točke su:

1. **Presjek s osi \( x \)**: Kad \( y = 0 \):

\[ 2x + 12 = 0 \]

\[ x = -6 \]

Dakle, točka presjeka s osi \( x \) je \( (-6, 0) \).

2. **Presjek s osi \( y \)**: Kad \( x = 0 \):

\[ -3y + 12 = 0 \]

\[ y = 4 \]

Dakle, točka presjeka s osi \( y \) je \( (0, 4) \).

Treća točka je očigledno točka \( (0, 0) \), gdje se osi sijeku.

Površina trokuta \( A \) određuje se kao:

\[ A = \frac{1}{2} \times \text{osnovica} \times \text{visina} \]

Ovdje je osnovica duljina \( x \)-osi \( |(-6) - 0| = 6 \) i visina je duljina \( y \)-osi \( |4 - 0| = 4 \).

\[ A = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \]

### c) Jednadžba kružnice opisane tom trokutu

Centar opisane kružnice (centroid) trokuta čiji su vrhovi \( (-6, 0) \), \( (0, 4) \) i \( (0, 0) \) dobije se kao sredina dužine između sredine osnovice trokuta i visine. 

\[ S_x = \frac{-6 + 0 + 0}{3} = -2 \]
\[ S_y = \frac{0 + 4 + 0}{3} = \frac{4}{3} \]

Centar kružnice je u točki \( (-2, \frac{4}{3}) \).

Polumjer kružnice \( R \) može se dobiti pomoću udaljenosti od centra kružnice do bilo kojeg vrha trokuta:

Koristimo točku \( (-6, 0) \):

\[ R = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + \left(0 - \frac{4}{3}\right)^2} \]

\[ R = \sqrt{(-4)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} \approx 4.22 \]

Jednadžba kružnice je:

\[ (x + 2)^2 + \left(y - \frac{4}{3}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{160}{9}}\right)^2 \]

\[ (x + 2)^2 + \left(y - \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{160}{9} \]

Imate li pitanja? Želite li detalje ili grafički prikaz?

Evo 5 sličnih pitanja:
1. Kako izračunati udaljenost između dviju točaka u ravnini?
2. Što predstavlja derivacija funkcije u točki?
3. Kako odrediti jednadžbu tangente na kružnicu?
4. Kako transformirati jednadžbu pravca pri rotaciji koordinatnog sustava?
5. Kako odrediti površinu četverokuta na temelju njegovih vrhova?

**Savjet:** Uvijek provjerite smjer kuta ako vam koeficijent smjera nije dovoljno jasan, pomoću tangensa.

Explore analytic geometry with step-by-step solutions to finding the slope of a line, calculating triangle area, and deriving the circle equation from a triangle. Ideal for high school students studying advanced geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation