Za početak, riješimo zadatak korak po korak.

a) Priklonni kut pravca

Imamo jednadžbu pravca:

$2x - 3y + 12 = 0$

Prvo, prebacimo jednadžbu u eksplicitni oblik $y = mx + n$:

$3y = 2x + 12$

$y = \frac{2}{3}x + 4$

Koeficijent smjera $m = \frac{2}{3}$. Priklonni kut $\alpha$ između pravca i pozitivnog dijela osi $x$ određuje se kao:

$\tan(\alpha) = m$

Dakle:

$\alpha = \arctan\left(\frac{2}{3}\right)$

b) Površina trokuta kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima

Trokut kojeg pravac zatvara s koordinatnim osima ima vrhove u točkama gdje pravac siječe osi. Te točke su:

1. Presjek s osi $x$: Kad $y = 0$:

$2x + 12 = 0$

$x = -6$

Dakle, točka presjeka s osi $x$ je $(-6, 0)$.

2. Presjek s osi $y$: Kad $x = 0$:

$-3y + 12 = 0$

$y = 4$

Dakle, točka presjeka s osi $y$ je $(0, 4)$.

Treća točka je očigledno točka $(0, 0)$, gdje se osi sijeku.

Površina trokuta $A$ određuje se kao:

$A = \frac{1}{2} \times \text{osnovica} \times \text{visina}$

Ovdje je osnovica duljina $x$-osi $|(-6) - 0| = 6$ i visina je duljina $y$-osi $|4 - 0| = 4$.

$A = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

c) Jednadžba kružnice opisane tom trokutu

Centar opisane kružnice (centroid) trokuta čiji su vrhovi $(-6, 0)$, $(0, 4)$ i $(0, 0)$ dobije se kao sredina dužine između sredine osnovice trokuta i visine.

$S_x = \frac{-6 + 0 + 0}{3} = -2$ $S_y = \frac{0 + 4 + 0}{3} = \frac{4}{3}$

Centar kružnice je u točki $(-2, \frac{4}{3})$.

Polumjer kružnice $R$ može se dobiti pomoću udaljenosti od centra kružnice do bilo kojeg vrha trokuta:

Koristimo točku $(-6, 0)$:

$R = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + \left(0 - \frac{4}{3}\right)^2}$

$R = \sqrt{(-4)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} \approx 4.22$

Jednadžba kružnice je:

$(x + 2)^2 + \left(y - \frac{4}{3}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{160}{9}}\right)^2$

$(x + 2)^2 + \left(y - \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{160}{9}$

Imate li pitanja? Želite li detalje ili grafički prikaz?

Evo 5 sličnih pitanja:

1. Kako izračunati udaljenost između dviju točaka u ravnini?
2. Što predstavlja derivacija funkcije u točki?
3. Kako odrediti jednadžbu tangente na kružnicu?
4. Kako transformirati jednadžbu pravca pri rotaciji koordinatnog sustava?
5. Kako odrediti površinu četverokuta na temelju njegovih vrhova?

Savjet: Uvijek provjerite smjer kuta ako vam koeficijent smjera nije dovoljno jasan, pomoću tangensa.