Résoudre l’équation trigonométrique suivante sur l’intervalle [−𝜋; 𝜋] : sin (5𝑥) = √3/2

Pour résoudre l'équation trigonométrique suivante sur l'intervalle \([-π, π]\) :

\[
\sin(5x) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Nous suivons ces étapes :

### 1. Déterminer les solutions de base

Les valeurs de \(\sin(θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) sont obtenues pour :

\[
θ = \frac{π}{3} + 2kπ \quad \text{ou} \quad θ = \frac{2π}{3} + 2kπ \quad \text{avec} \; k \in \mathbb{Z}
\]

### 2. Appliquer les solutions à \(5x\)

On remplace \(θ\) par \(5x\) :

\[
5x = \frac{π}{3} + 2kπ \quad \text{ou} \quad 5x = \frac{2π}{3} + 2kπ
\]

### 3. Résoudre pour \(x\)

On résout ces équations pour \(x\) en divisant par 5 :

\[
x = \frac{π}{15} + \frac{2kπ}{5} \quad \text{ou} \quad x = \frac{2π}{15} + \frac{2kπ}{5}
\]

### 4. Trouver les valeurs de \(k\) pour que \(x\) soit dans \([-π, π]\)

Pour déterminer les valeurs de \(x\) dans l'intervalle \([-π, π]\), il faut tester les valeurs de \(k\). Calculons les valeurs possibles de \(x\) :

1. Pour \(x = \frac{π}{15} + \frac{2kπ}{5}\) :

   - Pour \(k = -2\), \(x = \frac{π}{15} - \frac{4π}{5} = -\frac{11π}{15}\)
   - Pour \(k = -1\), \(x = \frac{π}{15} - \frac{2π}{5} = -\frac{5π}{15} = -\frac{π}{3}\)
   - Pour \(k = 0\), \(x = \frac{π}{15}\)
   - Pour \(k = 1\), \(x = \frac{π}{15} + \frac{2π}{5} = \frac{7π}{15}\)

2. Pour \(x = \frac{2π}{15} + \frac{2kπ}{5}\) :

   - Pour \(k = -2\), \(x = \frac{2π}{15} - \frac{4π}{5} = -\frac{10π}{15} = -\frac{2π}{3}\)
   - Pour \(k = -1\), \(x = \frac{2π}{15} - \frac{2π}{5} = -\frac{4π}{15}\)
   - Pour \(k = 0\), \(x = \frac{2π}{15}\)
   - Pour \(k = 1\), \(x = \frac{2π}{15} + \frac{2π}{5} = \frac{8π}{15}\)

### Solutions finales :

Les solutions dans l'intervalle \([-π, π]\) sont :

\[
x = -\frac{11π}{15}, -\frac{2π}{3}, -\frac{π}{3}, -\frac{4π}{15}, \frac{π}{15}, \frac{2π}{15}, \frac{7π}{15}, \frac{8π}{15}
\]

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

### Questions relatives :

1. Comment résoudre une équation trigonométrique similaire avec le cosinus ?
2. Quelle est la méthode pour résoudre \(\sin(nx) = c\) pour un entier \(n\) quelconque ?
3. Comment résoudre cette équation sur un autre intervalle, par exemple \([0, 2π]\) ?
4. Quelle est la relation entre les solutions de \(\sin x\) et \(\cos x\) ?
5. Comment représenter graphiquement les solutions trouvées sur le cercle trigonométrique ?

### Astuce :

Pour vérifier les solutions sur un intervalle donné, il est souvent utile de dessiner les angles sur le cercle trigonométrique pour visualiser facilement les positions de \(\sin(θ)\).

Explore how to solve the trigonometric equation sin(5x) = √3/2 over the interval [-π, π]. Learn the step-by-step process for determining solutions, using sine function properties and periodicity, with detailed examples. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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