Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep deret aritmatika, di mana jumlah total produksi selama 21 tahun diketahui dan penurunan produksi setiap tahun bersifat konstan.

(a) Menentukan Penurunan Tiap Tahunnya

Misalkan:

• $a$ = produksi tahun pertama
• $d$ = penurunan produksi tiap tahun
• $n$ = jumlah tahun (21 tahun)
• $S_n$ = jumlah produksi selama $n$ tahun

Diketahui bahwa jumlah total produksi dari tahun pertama hingga tahun ke-21 adalah 10.500 unit, yaitu:

$S_{21} = 10500$

Jumlah dari deret aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus:

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

Dengan $n = 21$:

$\frac{21}{2} (2a + 20d) = 10500$

Sederhanakan persamaan tersebut:

$21(2a + 20d) = 21000$

$2a + 20d = 1000$

$a + 10d = 500 \quad \text{(Persamaan 1)}$

Pada tahun ke-21, produksi mencapai nol (karena bangkrut):

$a + 20d = 0 \quad \text{(Persamaan 2)}$

Dengan menggunakan Persamaan 1 dan 2, kita bisa mencari nilai $a$ dan $d$.

Dari Persamaan 2:

$a = -20d$

Substitusi nilai $a$ ke Persamaan 1:

$-20d + 10d = 500$

$-10d = 500$

$d = -50$

Jadi, penurunan produksi tiap tahun adalah $50$ unit.

(b) Menentukan Produksi pada Tahun ke-10

Produksi pada tahun ke-10 ($U_{10}$) dapat dihitung dengan rumus:

$U_{10} = a + (10-1)d$

Substitusi nilai $a$ dan $d$:

$U_{10} = -20(-50) + 9(-50)$

$U_{10} = 1000 - 450$

$U_{10} = 550$

Jadi, produksi pada tahun ke-10 adalah 550 unit.

Kesimpulan:

• (a) Penurunan tiap tahunnya adalah 50 unit.
• (b) Produksi mobil pada tahun ke-10 adalah 550 unit.

Apakah ada yang ingin ditanyakan atau dijelaskan lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana menentukan jumlah produksi pada tahun ke-15?
2. Bagaimana menghitung produksi pada tahun terakhir sebelum bangkrut?
3. Jika penurunan tiap tahun berubah, bagaimana mempengaruhi total produksi?
4. Apa yang terjadi jika produksi awal lebih tinggi?
5. Bagaimana menggambarkan penurunan ini dalam grafik?

Tip: Deret aritmatika berguna untuk memodelkan situasi dengan perubahan konstan, baik kenaikan maupun penurunan.