Sebuah pabrik mobil pada tahun ke-21 diperkirakan tidak berproduk- si lagi (bangkrut). Jumlah produksi dari tahun pertama hingga tahun kedua puluh satu adalah 10.500 unit. Jika penurunan produksi mobil tersebut tetap tiap tahunnya,

Tentukanlah

(b) Produksi mobil tersebut pada tahun ke-10.

(a) Penurunan tiap tahunnya

Diketahui bahwa total produksi selama 21 tahun adalah 10.500 unit, dan produksi setiap tahunnya menurun dengan jumlah yang tetap. Artinya, ini adalah **barisan aritmetika**, di mana jumlah produksi selama 21 tahun adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan tersebut.

Misalkan:
- \( a \) adalah produksi mobil pada tahun pertama,
- \( d \) adalah penurunan produksi tiap tahunnya (beda),
- \( S_{21} \) adalah jumlah produksi selama 21 tahun, yaitu 10.500 unit.

### Rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika adalah:
\[
S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d)
\]
Untuk \( n = 21 \), kita dapat menulis:
\[
S_{21} = \frac{21}{2} \times (2a + 20d)
\]
\[
10.500 = \frac{21}{2} \times (2a + 20d)
\]
\[
10.500 = 10,5 \times (2a + 20d)
\]
\[
1.000 = 2a + 20d \quad \text{(Persamaan 1)}
\]

### (b) Produksi mobil pada tahun ke-10
Produksi tahun ke-10 adalah suku ke-10 dari barisan aritmetika, yang dapat ditentukan dengan rumus suku ke-n, yaitu:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Untuk tahun ke-10, kita substitusi \( n = 10 \):
\[
U_{10} = a + 9d \quad \text{(Persamaan 2)}
\]

Sekarang, kita perlu menyelesaikan persamaan ini dengan informasi tambahan dari bagian (a), yaitu penurunan tiap tahun.

### (a) Penurunan tiap tahunnya \( d \)
Untuk menyelesaikan, kita memerlukan informasi tambahan, misalnya jumlah produksi pada tahun ke-21 sama dengan 0 karena pabrik bangkrut pada tahun itu. Dengan kata lain, produksi pada tahun ke-21 adalah 0, yang berarti:
\[
U_{21} = a + 20d = 0
\]
Dari sini, kita dapat menyelesaikan \( a \) dan \( d \).

\[
a + 20d = 0 \quad \text{(Persamaan 3)}
\]
Dari persamaan ini, kita dapat menyatakan bahwa:
\[
a = -20d
\]

Sekarang, substitusi \( a = -20d \) ke dalam Persamaan 1:
\[
2(-20d) + 20d = 1.000
\]
\[
-40d + 20d = 1.000
\]
\[
-20d = 1.000
\]
\[
d = -50
\]

Jadi, **penurunan tiap tahun** adalah 50 unit.

### Menentukan \( a \) (produksi tahun pertama)
Substitusi \( d = -50 \) ke dalam \( a = -20d \):
\[
a = -20(-50) = 1.000
\]
Jadi, **produksi tahun pertama** adalah 1.000 unit.

### (b) Produksi pada tahun ke-10:
Substitusi \( a = 1.000 \) dan \( d = -50 \) ke dalam Persamaan 2:
\[
U_{10} = 1.000 + 9(-50)
\]
\[
U_{10} = 1.000 - 450 = 550
\]
Jadi, **produksi pada tahun ke-10** adalah 550 unit.

---

**Kesimpulan:**
(a) Penurunan produksi tiap tahun adalah 50 unit.  
(b) Produksi pada tahun ke-10 adalah 550 unit.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung jumlah produksi jika pabrik tutup sebelum 21 tahun?
2. Apa perbedaan barisan aritmetika dengan barisan geometri dalam konteks produksi?
3. Bagaimana jika produksi turun dengan persentase tetap, bukan jumlah tetap?
4. Bagaimana pengaruh faktor ekonomi terhadap penurunan produksi mobil?
5. Bagaimana model ini dapat diterapkan pada situasi bisnis lainnya?

**Tip:** Dalam barisan aritmetika, beda (penurunan) yang tetap sangat penting untuk menghitung jumlah total dengan mudah.

Sebuah pabrik mobil pada tahun ke-21 diperkirakan tidak berproduksi lagi (bangkrut). Jumlah produksi dari tahun pertama hingga tahun kedua puluh satu adalah 10.500 unit. Jika penurunan produksi mobil tersebut tetap tiap tahunnya, tentukanlah (a) Penurunan tiap tahunnya (b) Produksi mobil tersebut pada tahun ke-10.

This problem explores how to calculate the annual decrease in production of a car factory and the production in the 10th year. Using the sum and nth term formulas for arithmetic sequences, we determine the yearly drop in production and the specific output for year 10. Total production over 21 years is 10,500 units, with a constant annual decrease in output.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation