Sebuah perusahaan dari tahun ke tahun mencatat penurunan jumlah produksi. Pada tahun ketiga jumlah produksi yang dihasilkan sebesar 4000 unit, sedang jumlah produksi sampai tahun ke enam adalah sebesar 21.000 unit. Berapa produksi pada tahun pertama? Dan pada tahun ke berapa perusahaan akan berhenti berproduksi?

Soal ini terkait dengan penurunan jumlah produksi dari tahun ke tahun yang mungkin mengikuti pola penurunan linear atau eksponensial. Untuk memecahkannya, kita perlu mengidentifikasi pola penurunan produksi berdasarkan informasi yang diberikan.

Dari soal:

1. Pada tahun ketiga (T₃), jumlah produksi adalah 4.000 unit.
2. Jumlah produksi selama periode tahun ketiga hingga tahun keenam (T₃ sampai T₆) adalah 21.000 unit.

Asumsikan penurunan produksi ini mengikuti deret aritmetika (penurunan yang sama setiap tahunnya). Kita bisa menggunakan rumus umum deret aritmetika untuk mencari solusi:

### Langkah 1: Menentukan jumlah produksi dari tahun ke-3 sampai tahun ke-6
Misalkan jumlah produksi pada tahun pertama adalah \( P_1 \), dan selisih penurunan produksi setiap tahun adalah \( d \). Maka jumlah produksi pada tahun-tahun tertentu dapat dinyatakan sebagai:
- Tahun pertama: \( P_1 \)
- Tahun kedua: \( P_2 = P_1 - d \)
- Tahun ketiga: \( P_3 = P_1 - 2d \)

Diketahui bahwa \( P_3 = 4000 \), sehingga:
\[
P_1 - 2d = 4000 \quad \text{(Persamaan 1)}
\]

### Langkah 2: Jumlah produksi dari tahun ke-3 sampai tahun ke-6
Jumlah produksi total dari tahun ketiga sampai tahun keenam adalah jumlah dari \( P_3, P_4, P_5, P_6 \), yang dinyatakan sebagai:
\[
P_3 + P_4 + P_5 + P_6 = 21.000
\]
Substitusi ekspresi \( P_3, P_4, P_5, P_6 \):
\[
( P_1 - 2d ) + ( P_1 - 3d ) + ( P_1 - 4d ) + ( P_1 - 5d ) = 21.000
\]
Sederhanakan:
\[
4P_1 - 14d = 21.000 \quad \text{(Persamaan 2)}
\]

### Langkah 3: Menyelesaikan sistem persamaan
Sekarang kita punya dua persamaan:
1. \( P_1 - 2d = 4000 \)
2. \( 4P_1 - 14d = 21.000 \)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menemukan nilai \( P_1 \) dan \( d \).

#### Substitusi \( P_1 \) dari Persamaan 1
Dari Persamaan 1:
\[
P_1 = 4000 + 2d
\]
Substitusikan ke dalam Persamaan 2:
\[
4(4000 + 2d) - 14d = 21.000
\]
\[
16.000 + 8d - 14d = 21.000
\]
\[
16.000 - 6d = 21.000
\]
\[
-6d = 21.000 - 16.000
\]
\[
-6d = 5.000
\]
\[
d = -\frac{5000}{6} \approx -833,33
\]

#### Menentukan \( P_1 \)
Substitusikan nilai \( d \) ke Persamaan 1:
\[
P_1 = 4000 + 2(-833,33) = 4000 - 1666,67 \approx 2333,33
\]

Jadi, jumlah produksi pada tahun pertama adalah sekitar **2.333 unit**.

### Langkah 4: Menentukan kapan perusahaan berhenti berproduksi
Perusahaan akan berhenti berproduksi ketika jumlah produksinya mencapai 0. Kita dapat menggunakan rumus umum:
\[
P_n = P_1 - (n-1) \cdot d
\]
Setel \( P_n = 0 \), sehingga:
\[
0 = 2333,33 - (n-1) \cdot 833,33
\]
\[
(n-1) \cdot 833,33 = 2333,33
\]
\[
n-1 = \frac{2333,33}{833,33} \approx 2,8
\]
\[
n \approx 3,8
\]

Ini berarti perusahaan akan berhenti berproduksi pada tahun ke-**4**.

### Kesimpulan:
1. Jumlah produksi pada tahun pertama adalah **2.333 unit**.
2. Perusahaan akan berhenti berproduksi pada tahun ke-**4**.

Apakah penjelasan ini sudah cukup jelas, atau ada yang ingin ditanyakan lebih lanjut?

### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana jika penurunan produksi mengikuti deret eksponensial?
2. Bagaimana cara menghitung jumlah produksi total selama 10 tahun?
3. Bagaimana cara menilai pengaruh kenaikan biaya produksi terhadap jumlah produksi?
4. Bagaimana menghitung rata-rata penurunan produksi per tahun?
5. Bagaimana jika data yang diberikan tidak lengkap, bagaimana

Solve the problem of a company's production decline over the years. Learn how to find the initial production level and when the company will stop producing using arithmetic sequence formulas. This problem is suitable for students in Grades 10-12 and covers linear equations and sequences.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation