Để tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình \(x^2 y^2 - xy = x^2 + 2y^2\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chuyển đổi phương trình:**
   \[
   x^2 y^2 - xy - x^2 - 2y^2 = 0
   \]

2. **Tách các hạng tử và nhóm các hạng tử chứa \(x\) và \(y\):**
   \[
   x^2 y^2 - x^2 - xy - 2y^2 = 0
   \]

3. **Giải phương trình theo \(x\):**

   - Thử các giá trị cụ thể của \(x\) và \(y\) để tìm các cặp số nguyên:
     - **Trường hợp \(x = 0\):**
       \[
       0^2 y^2 - 0 = 0^2 + 2y^2 \implies 0 = 2y^2 \implies y = 0
       \]
       Do đó, cặp \((x, y) = (0, 0)\) thỏa mãn phương trình.

     - **Trường hợp \(x \neq 0\):** Chuyển phương trình về dạng có thể phân tích và thử nghiệm các giá trị của \(y\).

4. **Thử các giá trị cụ thể của \(x\):**

   - **Nếu \(x = 1\):**
     \[
     1^2 y^2 - 1 \cdot y = 1^2 + 2y^2 \implies y^2 - y = 1 + 2y^2 \implies -y^2 - y + 1 = 0 \implies y^2 + y - 1 = 0
     \]
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

   - **Nếu \(x = -1\):**
     \[
     (-1)^2 y^2 - (-1) \cdot y = (-1)^2 + 2y^2 \implies y^2 + y = 1 + 2y^2 \implies -y^2 + y - 1 = 0 \implies y^2 - y + 1 = 0
     \]
     Phương trình này không có nghiệm nguyên.

   - **Nếu \(x = 2\):**
     \[
     2^2 y^2 - 2 \cdot y = 2^2 + 2y^2 \implies 4y^2 - 2y = 4 + 2y^2 \implies 2y^2 - 2y - 4 = 0 \implies y^2 - y - 2 = 0
     \]
     Giải phương trình bậc hai:
     \[
     y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies y = 2 \text{ hoặc } y = -1
     \]
     Do đó, các cặp \((x, y) = (2, 2)\) và \((2, -1)\) thỏa mãn phương trình.

   - **Nếu \(x = -2\):**
     \[
     (-2)^2 y^2 - (-2) \cdot y = (-2)^2 + 2y^2 \implies 4y^2 + 2y = 4 + 2y^2 \implies 2y^2 + 2y - 4 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0
     \]
     Giải phương trình bậc hai:
     \[
     y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies y = 2 \text{ hoặc } y = -1
     \]
     Do đó, các cặp \((x, y) = (-2, 2)\) và \((-2, -1)\) thỏa mãn phương trình.

5. **Kết luận:**

Các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:
\[
(0, 0), (2, 2), (2, -1), (-2, 2), (-2, -1)
\]

Bạn có muốn chi tiết hơn hay có câu hỏi gì thêm không?

### Câu hỏi liên quan:

1. Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên như thế nào?
2. Làm thế nào để giải phương trình đa thức có bậc lớn hơn 2?
3. Phương pháp nghiệm nguyên của phương trình Diophantine là gì?
4. Làm sao để sử dụng phương pháp thử và sai để tìm nghiệm nguyên của phương trình?
5. Vai trò của định lý Fermat trong việc tìm nghiệm nguyên của phương trình?
6. Làm thế nào để chứng minh một phương trình không có nghiệm nguyên?
7. Các phương pháp tối ưu hóa cho việc tìm nghiệm nguyên là gì?
8. Làm thế nào để sử dụng máy tính để giải các phương trình đa thức?

### Mẹo:
Sử dụng phương pháp phân tích và thử nghiệm các giá trị cụ thể để tìm các nghiệm nguyên cho phương trình phức tạp.

Explore how to solve the Diophantine equation x^2 y^2 - xy = x^2 + 2y^2. Find integer solutions step-by-step using trial and error methods. Suitable for advanced high school students and math enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation