好的，我们来解答上述题目。

### 题目：
设函数 \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)，求极限：
\[ \lim_{x \to 0} f(x) \]

### 解答：
首先我们可以利用标准极限：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]

这个极限是高等数学中的一个重要结论，可以通过几何方法或洛必达法则来证明。

#### 证明1：几何方法
考虑单位圆，设角度为 \( x \) 的弧长为 \( x \)，对应的弦长为 \( 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) \)。利用三角函数的不等式，我们有：
\[ \sin(x) < x < \tan(x) \]
两边同时除以 \( x \)：
\[ \frac{\sin(x)}{x} < 1 < \frac{\tan(x)}{x} \]
由于 \( \frac{\tan(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x\cos(x)} \)，当 \( x \to 0 \) 时，\( \cos(x) \to 1 \)，所以：
\[ \frac{\sin(x)}{x} \to 1 \]

#### 证明2：洛必达法则
我们可以使用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \]
这里的形式是 \( \frac{0}{0} \)，因此可以使用洛必达法则：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1 \]

所以，
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]

请告诉我是否需要对其他题目进行详细解答，或者你有任何问题。

---

你还可以尝试以下几道题目：

1. 计算极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - x + 2} \)
2. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)
3. 计算极限 \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} \)
4. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)
5. 计算极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{1} \)

### 提示：
在解极限问题时，可以考虑使用洛必达法则，尤其是当遇到 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 形式的不定式时。

Learn how to solve the limit of sin(x)/x as x approaches 0 with a detailed step-by-step solution. This problem involves using the squeeze theorem and L'Hôpital's rule to derive the limit. Suitable for college-level students studying calculus and trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation