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Resuelve los ejercicios presentados en el documento

Vamos a resolver los ejercicios uno por uno.

### 1. Determina si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

**a)** Una parábola "envuelve" al foco, es decir, si el foco se encuentra a la izquierda de la directriz la parábola abrirá hacia la izquierda, y abrirá hacia la derecha si el foco está a la derecha de la directriz.

**Respuesta:** Falso. En una parábola, el foco y la directriz determinan la orientación, pero la parábola abre hacia el foco, no hacia la directriz. Si el foco está a la izquierda de la directriz, la parábola abrirá hacia la derecha y viceversa.

**b)** Si el vértice se encuentra a una distancia de 2 cm del foco, entonces el ancho del foco de la parábola es de 8 cm.

**Respuesta:** Verdadero. El ancho de la parábola \(4p\) es cuatro veces la distancia del vértice al foco. Si la distancia es 2 cm, entonces \(4p = 4 \times 2 = 8 \) cm.

### 2. En cada inciso se proporciona el ancho del foco de una parábola. ¿A qué distancia se encuentra el vértice del foco en cada una de esas parábolas? (las medidas están en cm.)

**a)** \(4p=20\)

\[ p = \frac{20}{4} = 5 \text{ cm} \]

**b)** \(4p=12\)

\[ p = \frac{12}{4} = 3 \text{ cm} \]

**c)** \(4p=5\)

\[ p = \frac{5}{4} = 1.25 \text{ cm} \]

### 3. Identifica las ecuaciones de las parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen y determina la dirección en la que se abren.

**a)** \( y = x^2 \)

- Parábola vertical que se abre hacia arriba.

**b)** \( x = 6y^2 \)

- Parábola horizontal que se abre hacia la derecha.

**c)** \( x = -12y^2 \)

- Parábola horizontal que se abre hacia la izquierda.

### 4. Relaciona cada ecuación con su respectiva gráfica.

**a)** \( x^2 = 2y \)

- Parábola vertical que se abre hacia arriba.

**b)** \( 2x^2 = 6y \)

- Simplificando, \( x^2 = 3y \), es una parábola vertical que se abre hacia arriba.

**c)** \( y^2 = -9x \)

- Parábola horizontal que se abre hacia la izquierda.

### 5. Obtén los elementos de la parábola vertical, con vértice en el origen, que pasa por el punto P(1, -2). Dibuja su gráfica.

La ecuación estándar de una parábola vertical es \( y = \frac{1}{4p}x^2 \).

Dado que pasa por el punto (1, -2), podemos usar este punto para encontrar \( p \).

\[
-2 = \frac{1}{4p} (1)^2 \implies -2 = \frac{1}{4p} \implies p = -\frac{1}{8}
\]

La ecuación de la parábola es:

\[
y = -8x^2
\]

Esto implica que la parábola se abre hacia abajo. 

Para dibujar la parábola, puedes marcar el vértice en el origen (0,0) y dibujar una curva que pase por el punto (1, -2) y abra hacia abajo.

¿Te gustaría alguna explicación adicional o más detalles sobre algún punto específico? 

Aquí tienes cinco preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se determina la directriz de una parábola?
2. ¿Qué es el latus rectum de una parábola?
3. ¿Cuál es la fórmula general de una parábola con vértice en el origen?
4. ¿Cómo se transforma una parábola horizontal a una vertical?
5. ¿Cómo se encuentra el foco de una parábola a partir de su ecuación?

**Tip:** Al trabajar con parábolas, siempre recuerda que la distancia del vértice al foco es clave para determinar la orientación y la ecuación correcta de la parábola.

Explore solutions to mathematical exercises involving parabolas. Learn about their properties, equations, and orientations. Topics covered include vertex form, focus, directrix, and transformations of parabolas. Suitable for high school students studying advanced algebra and geometry.

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