已知a+b=3，ab=1，求下列各式的值

根据已知条件 \(a + b = 3\) 和 \(ab = 1\)，我们可以求解以下各式的值：

1. \(a^2 + b^2\)

   我们知道：
   \[
   (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
   \]
   代入已知条件 \(a + b = 3\) 和 \(ab = 1\)，我们得到：
   \[
   3^2 = a^2 + 2 \cdot 1 + b^2 \Rightarrow 9 = a^2 + 2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 7
   \]

2. \(a^3 + b^3\)

   我们知道：
   \[
   a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
   \]
   我们已经知道 \(a + b = 3\)，而 \(a^2 + b^2 = 7\)，再代入 \(ab = 1\)，我们得到：
   \[
   a^3 + b^3 = 3(7 - 1) = 3 \times 6 = 18
   \]

3. \(a^4 + b^4\)

   我们知道：
   \[
   a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(a b)^2
   \]
   我们已经知道 \(a^2 + b^2 = 7\)，再代入 \(ab = 1\)，我们得到：
   \[
   a^4 + b^4 = 7^2 - 2 \cdot 1^2 = 49 - 2 = 47
   \]

4. \((a - b)^2\)

   我们知道：
   \[
   (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
   \]
   我们已经知道 \(a^2 + b^2 = 7\)，再代入 \(ab = 1\)，我们得到：
   \[
   (a - b)^2 = 7 - 2 \cdot 1 = 7 - 2 = 5
   \]

5. \((a^2 + b^2)^2\)

   我们已经知道 \(a^2 + b^2 = 7\)，所以：
   \[
   (a^2 + b^2)^2 = 7^2 = 49
   \]

以上是根据已知条件求解的各式的值。

请问您需要进一步的细节或有其他问题吗？

您可以继续问以下问题：
1. 如何求解二次方程？
2. 如何证明一个多项式是不可约的？
3. 如何求一个函数的导数？
4. 如何计算定积分？
5. 如何解线性代数方程组？

小提示：在求解复杂的代数式时，代入已知条件并利用基本的代数恒等式是常用的技巧。

Explore solutions to equations using given constraints a + b = 3 and ab = 1. Learn how to compute values like a^2 + b^2, a^3 + b^3, and more using algebraic identities and theorems.

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