Hallar los valores de a y b en la ecuación x^2  + (2a + 3b - 1)x + a - b - 3 = 0 si ambas raíces valen cero. Comprobar la solución.

Dada la ecuación cuadrática:

\[
x^2 + (2a + 3b - 1)x + a - b - 3 = 0
\]

Sabemos que ambas raíces de la ecuación valen 0, por lo tanto, se puede factorizar como:

\[
(x - 0)(x - 0) = x^2 = 0
\]

Por lo tanto, la ecuación original debe coincidir con \(x^2 = 0\), lo que implica que los coeficientes del término lineal y el término constante deben ser 0.

### Paso 1: Igualar el coeficiente del término lineal a cero

El coeficiente del término lineal es:

\[
2a + 3b - 1 = 0
\]

### Paso 2: Igualar el término constante a cero

El término constante es:

\[
a - b - 3 = 0
\]

Ahora tenemos el sistema de ecuaciones:

1. \(2a + 3b - 1 = 0\)
2. \(a - b - 3 = 0\)

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Primero, resolvamos la segunda ecuación para \(a\):

\[
a = b + 3
\]

Ahora sustituimos este valor de \(a\) en la primera ecuación:

\[
2(b + 3) + 3b - 1 = 0
\]

Simplificamos:

\[
2b + 6 + 3b - 1 = 0
\]

\[
5b + 5 = 0
\]

\[
b = -1
\]

### Paso 4: Sustituir \(b = -1\) en la ecuación para \(a\):

\[
a = -1 + 3 = 2
\]

### Paso 5: Comprobar la solución

Sustituimos \(a = 2\) y \(b = -1\) en la ecuación original:

\[
x^2 + (2(2) + 3(-1) - 1)x + (2 - (-1) - 3) = 0
\]

\[
x^2 + (4 - 3 - 1)x + (2 + 1 - 3) = 0
\]

\[
x^2 + 0x + 0 = 0
\]

\[
x^2 = 0
\]

Lo cual es correcto, ya que las raíces son 0.

### Conclusión:

Los valores de \(a\) y \(b\) son:

\[
a = 2, \quad b = -1
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se factoriza una ecuación cuadrática si las raíces no son cero?
2. ¿Qué sucede si las raíces son diferentes de cero?
3. ¿Cómo se determinan las raíces de una ecuación cuadrática usando la fórmula general?
4. ¿Cuál es el efecto de cambiar los coeficientes en la ecuación cuadrática sobre las raíces?
5. ¿Cómo se grafica una función cuadrática y qué información proporcionan sus raíces?

### Tip:
La factorización de una ecuación cuadrática es una herramienta clave para encontrar las raíces y entender su comportamiento gráfico.

Explore how to determine values of a and b in the quadratic equation x^2 + (2a + 3b - 1)x + a - b - 3 = 0 when both roots are zero. Detailed step-by-step solution included. Suitable for high school students studying algebra and quadratic equations.

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