Dada la ecuación cuadrática:

$x^2 + (2a + 3b - 1)x + a - b - 3 = 0$

Sabemos que ambas raíces de la ecuación valen 0, por lo tanto, se puede factorizar como:

$(x - 0)(x - 0) = x^2 = 0$

Por lo tanto, la ecuación original debe coincidir con $x^2 = 0$, lo que implica que los coeficientes del término lineal y el término constante deben ser 0.

Paso 1: Igualar el coeficiente del término lineal a cero

El coeficiente del término lineal es:

$2a + 3b - 1 = 0$

Paso 2: Igualar el término constante a cero

El término constante es:

$a - b - 3 = 0$

Ahora tenemos el sistema de ecuaciones:

1. $2a + 3b - 1 = 0$
2. $a - b - 3 = 0$

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Primero, resolvamos la segunda ecuación para $a$:

$a = b + 3$

Ahora sustituimos este valor de $a$ en la primera ecuación:

$2(b + 3) + 3b - 1 = 0$

Simplificamos:

$2b + 6 + 3b - 1 = 0$

$5b + 5 = 0$

$b = -1$

Paso 4: Sustituir $b = -1$ en la ecuación para $a$:

$a = -1 + 3 = 2$

Paso 5: Comprobar la solución

Sustituimos $a = 2$ y $b = -1$ en la ecuación original:

$x^2 + (2(2) + 3(-1) - 1)x + (2 - (-1) - 3) = 0$

$x^2 + (4 - 3 - 1)x + (2 + 1 - 3) = 0$

$x^2 + 0x + 0 = 0$

$x^2 = 0$

Lo cual es correcto, ya que las raíces son 0.

Conclusión:

Los valores de $a$ y $b$ son:

$a = 2, \quad b = -1$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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4. ¿Cuál es el efecto de cambiar los coeficientes en la ecuación cuadrática sobre las raíces?
5. ¿Cómo se grafica una función cuadrática y qué información proporcionan sus raíces?

Tip:

La factorización de una ecuación cuadrática es una herramienta clave para encontrar las raíces y entender su comportamiento gráfico.