已知tan *α*＝3，则cos(2*α+pi/3*)等于

已知 \(\tan(\alpha) = 3\)，要求计算 \(\cos(2\alpha + \frac{\pi}{3})\)。

我们可以通过以下步骤来求解：

### 步骤1：从 \(\tan(\alpha) = 3\) 推导 \(\sin(\alpha)\) 和 \(\cos(\alpha)\)
利用三角函数的定义，\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 3\)，可以设：
\[
\sin(\alpha) = 3k \quad \text{和} \quad \cos(\alpha) = k
\]
根据 \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)，代入得到：
\[
(3k)^2 + k^2 = 1
\]
\[
9k^2 + k^2 = 1
\]
\[
10k^2 = 1
\]
\[
k^2 = \frac{1}{10} \quad \text{因此} \quad k = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]
所以，\(\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{10}}\) 和 \(\sin(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{10}}\)。

### 步骤2：计算 \(\cos(2\alpha)\)
利用 \(\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\)，代入 \(\cos(\alpha)\) 和 \(\sin(\alpha)\)：
\[
\cos(2\alpha) = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{1}{10} - \frac{9}{10} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}
\]

### 步骤3：计算 \(\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\)
利用和角公式 \(\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)\)，其中 \(A = 2\alpha\) 和 \(B = \frac{\pi}{3}\)，我们知道：
\[
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \quad \text{和} \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
因此：
\[
\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(2\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin(2\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)
\]
首先，计算 \(\sin(2\alpha)\)：
\[
\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2 \times \frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
\]
代入得到：
\[
\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
\[
= -\frac{2}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{10}
\]
因此，\(\cos\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{10}\)。

这是最终答案。

如果有疑问或需要详细解释，请告诉我！

### 拓展问题：
1. 如何从已知 \(\tan(\alpha)\) 的值求解其他三角函数值？
2. 证明三角恒等式 \(\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)\)。
3. 为什么 \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) 是三角函数的基本关系式？
4. 若已知 \(\cos(\alpha)\) 和 \(\sin(\alpha)\)，如何推导出 \(\tan(2\alpha)\)？
5. 如何利用双角公式简化三角方程的解？

### 提示：
在解三角函数问题时，合理使用三角恒等式和双角公式能大大简化计算步骤。

In this problem, we calculate cos(2α + π/3) given that tan(α) = 3. This solution involves using the Pythagorean identity and angle addition formulas, providing a clear step-by-step explanation suitable for students in Grades 10-12.

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