برای حل این مسئله، ابتدا معادله داده شده را بررسی می‌کنیم:

$\tan(\alpha) + \cot(\alpha) = 3$

ما می‌دانیم که $\cot(\alpha)$ برابر است با $\frac{1}{\tan(\alpha)}$. بنابراین، معادله را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$x + \frac{1}{x} = 3$

که در آن $x = \tan(\alpha)$ است.

برای حل این معادله، ابتدا هر دو طرف را در $x$ ضرب می‌کنیم تا از کسر خلاص شویم:

$x^2 + 1 = 3x$

سپس معادله را به صورت یک معادله درجه دوم تنظیم می‌کنیم:

$x^2 - 3x + 1 = 0$

اکنون هدف ما محاسبه $x^4 + \frac{1}{x^4}$ است. ابتدا با پیدا کردن $x^2 + \frac{1}{x^2}$ شروع می‌کنیم. برای این کار، معادله اولیه $x + \frac{1}{x} = 3$ را به توان دو می‌رسانیم:

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 = 9$

این معادله را باز می‌کنیم:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

سپس $2$ را از طرف چپ کم می‌کنیم:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

اکنون، برای پیدا کردن $x^4 + \frac{1}{x^4}$، این مقدار را مجدداً به توان دو می‌رسانیم:

$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 7^2 = 49$

این معادله را باز می‌کنیم:

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 49$

سپس $2$ را از طرف چپ کم می‌کنیم:

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

بنابراین جواب نهایی برابر است با:

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سؤالی دارید؟

سوالات مرتبط:

1. اگر $\tan(\alpha)$ برابر با 1 باشد، مقدار $\tan^4(\alpha) + \cot^4(\alpha)$ چند است؟
2. آیا می‌توان با روش دیگری معادله $\tan(\alpha) + \cot(\alpha) = 3$ را حل کرد؟
3. در چه زمانی مقدار $\tan(\alpha) + \cot(\alpha)$ کمتر از 3 است؟
4. چگونه می‌توان از هویت‌های مثلثاتی دیگر برای حل این مسئله استفاده کرد؟
5. اگر $\tan(\alpha)$ برابر با $x$ باشد، معادله $\cot(\alpha)$ بر حسب $x$ چگونه تعریف می‌شود؟

نکته:

برای ساده کردن محاسبات مثلثاتی، همیشه می‌توان از هویت‌های بنیادی مثلثات برای تبدیل و ساده‌سازی معادلات استفاده کرد.