اگر تانژانت آلفا به اضافه کتانژانت آلفا برابر با 3 شود آنگاه تانژانت آلفا به توان چهار به اضافه کتانژانت آلفا به توان چهار چند است؟

برای حل این مسئله، ابتدا معادله داده شده را بررسی می‌کنیم:

\[
\tan(\alpha) + \cot(\alpha) = 3
\]

ما می‌دانیم که \(\cot(\alpha)\) برابر است با \( \frac{1}{\tan(\alpha)} \). بنابراین، معادله را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[
x + \frac{1}{x} = 3
\]

که در آن \( x = \tan(\alpha) \) است.

برای حل این معادله، ابتدا هر دو طرف را در \(x\) ضرب می‌کنیم تا از کسر خلاص شویم:

\[
x^2 + 1 = 3x
\]

سپس معادله را به صورت یک معادله درجه دوم تنظیم می‌کنیم:

\[
x^2 - 3x + 1 = 0
\]

اکنون هدف ما محاسبه \( x^4 + \frac{1}{x^4} \) است. ابتدا با پیدا کردن \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) شروع می‌کنیم. برای این کار، معادله اولیه \( x + \frac{1}{x} = 3 \) را به توان دو می‌رسانیم:

\[
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 = 9
\]

این معادله را باز می‌کنیم:

\[
x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9
\]

سپس \(2\) را از طرف چپ کم می‌کنیم:

\[
x^2 + \frac{1}{x^2} = 7
\]

اکنون، برای پیدا کردن \( x^4 + \frac{1}{x^4} \)، این مقدار را مجدداً به توان دو می‌رسانیم:

\[
\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 7^2 = 49
\]

این معادله را باز می‌کنیم:

\[
x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 49
\]

سپس \(2\) را از طرف چپ کم می‌کنیم:

\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = 47
\]

بنابراین جواب نهایی برابر است با:

\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = 47
\]

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سؤالی دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. اگر \(\tan(\alpha)\) برابر با 1 باشد، مقدار \( \tan^4(\alpha) + \cot^4(\alpha) \) چند است؟
2. آیا می‌توان با روش دیگری معادله \( \tan(\alpha) + \cot(\alpha) = 3 \) را حل کرد؟
3. در چه زمانی مقدار \( \tan(\alpha) + \cot(\alpha) \) کمتر از 3 است؟
4. چگونه می‌توان از هویت‌های مثلثاتی دیگر برای حل این مسئله استفاده کرد؟
5. اگر \( \tan(\alpha) \) برابر با \(x\) باشد، معادله \( \cot(\alpha) \) بر حسب \(x\) چگونه تعریف می‌شود؟

### نکته:
برای ساده کردن محاسبات مثلثاتی، همیشه می‌توان از هویت‌های بنیادی مثلثات برای تبدیل و ساده‌سازی معادلات استفاده کرد.

Learn how to solve the equation tan(α) + cot(α) = 3 and find the value of tan^4(α) + cot^4(α) with detailed step-by-step explanations. This problem involves key concepts from trigonometry and algebra, including quadratic equations and trigonometric identities. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation