E * 5

Démontrer que l'expression A = ((8 ^ (n + 1) + 8 ^ n) ^ 2)/((4 ^ n - 4 ^ (n - 1)) ^ 3) ne dépend pas de l'entier n et donner sa valeur.


Nous devons démontrer que l'expression suivante ne dépend pas de \( n \), puis déterminer sa valeur.

\[ A = \frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3} \]

### Étape 1 : Simplification du numérateur

Le numérateur est :

\[
(8^{n+1} + 8^n)^2
\]

Factorisons \( 8^n \) dans chaque terme à l'intérieur de la parenthèse :

\[
8^{n+1} + 8^n = 8^n(8 + 1) = 8^n \cdot 9
\]

Ainsi, le numérateur devient :

\[
(8^{n+1} + 8^n)^2 = (8^n \cdot 9)^2 = 8^{2n} \cdot 9^2 = 8^{2n} \cdot 81
\]

### Étape 2 : Simplification du dénominateur

Le dénominateur est :

\[
(4^n - 4^{n-1})^3
\]

Factorisons \( 4^{n-1} \) dans chaque terme à l'intérieur de la parenthèse :

\[
4^n - 4^{n-1} = 4^{n-1}(4 - 1) = 4^{n-1} \cdot 3
\]

Ainsi, le dénominateur devient :

\[
(4^n - 4^{n-1})^3 = (4^{n-1} \cdot 3)^3 = 4^{3(n-1)} \cdot 3^3 = 4^{3n - 3} \cdot 27
\]

### Étape 3 : Expression simplifiée

L'expression devient donc :

\[
A = \frac{8^{2n} \cdot 81}{4^{3n - 3} \cdot 27}
\]

Simplifions ce rapport. Remarquons d'abord que \( 81 \div 27 = 3 \), donc nous avons :

\[
A = \frac{8^{2n} \cdot 3}{4^{3n - 3}}
\]

Utilisons maintenant les puissances de 8 et de 4. Puisque \( 8 = 2^3 \) et \( 4 = 2^2 \), nous pouvons réécrire les puissances en base 2 :

\[
8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n}
\]
\[
4^{3n-3} = (2^2)^{3n-3} = 2^{6n - 6}
\]

Ainsi, l'expression devient :

\[
A = \frac{2^{6n} \cdot 3}{2^{6n - 6}}
\]

Simplifions les puissances de 2 :

\[
A = 2^{6n - (6n - 6)} \cdot 3 = 2^6 \cdot 3
\]

Puisque \( 2^6 = 64 \), on obtient :

\[
A = 64 \cdot 3 = 192
\]

### Conclusion

Nous avons montré que l'expression \( A \) ne dépend pas de \( n \), et sa valeur est :

\[
\boxed{192}
\]

### Questions connexes :
1. Comment factoriser des expressions exponentielles ?
2. Pourquoi passer à une base commune est-il utile dans les simplifications ?
3. Comment utiliser les propriétés des puissances dans les démonstrations ?
4. Quelle est la méthode pour simplifier des fractions de puissances ?
5. Comment démontrer l'indépendance d'une expression par rapport à une variable ?

**Tip** : Lorsque vous simplifiez des expressions exponentielles, essayez toujours de factoriser ou de réécrire les termes en utilisant une base commune, cela facilite la simplification.

Démontrer que l'expression A = ((8 ^ (n + 1) + 8 ^ n) ^ 2)/((4 ^ n - 4 ^ (n - 1)) ^ 3) ne dépend pas de l'entier n et donner sa valeur.

Apprenez à simplifier l'expression A = ((8^(n+1) + 8^n)^2) / ((4^n - 4^(n-1))^3) et découvrez pourquoi elle ne dépend pas de l'entier n. Ce problème implique des concepts clés tels que la factorisation et les lois des puissances. Convient aux étudiants de 11e et 12e année.

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