Misalkan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥22 adalah barisan aritmetika yang hasil penjumlahan dari semua
suku-sukunya adalah 2024. Diketahui 𝐴 = 𝑥1 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥21 dan 𝐵 = 𝑥2 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥22
dengan 𝐴 ∶ 𝐵 = 11 ∶ 12.
Tentukan selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika tersebut

Diketahui bahwa \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_{22} \) adalah barisan aritmetika, sehingga masing-masing sukunya memiliki beda yang sama, yaitu \( b \). Misalkan suku pertama \( x_1 = a \), sehingga setiap suku bisa dituliskan sebagai:

\[
x_n = a + (n-1)b
\]

### Langkah 1: Menentukan jumlah seluruh suku
Jumlah seluruh suku dari barisan aritmetika dapat dinyatakan sebagai:

\[
S_{22} = x_1 + x_2 + \dots + x_{22} = 2024
\]

Karena \( S_{22} \) merupakan jumlah dari 22 suku barisan aritmetika, maka rumus jumlahnya adalah:

\[
S_{22} = \frac{22}{2} \times (x_1 + x_{22})
\]

Dengan \( x_{22} = a + 21b \), maka:

\[
S_{22} = 11 \times (a + a + 21b) = 11 \times (2a + 21b)
\]
\[
11 \times (2a + 21b) = 2024
\]
\[
2a + 21b = \frac{2024}{11} = 184
\]
\[
2a + 21b = 184 \quad \text{(Persamaan 1)}
\]

### Langkah 2: Menentukan nilai \( A \) dan \( B \)
Diketahui bahwa:

\[
A = x_1 + x_3 + \dots + x_{21}
\]
\[
B = x_2 + x_4 + \dots + x_{22}
\]

Jumlah suku-suku yang membentuk \( A \) adalah suku-suku dengan indeks ganjil, yaitu \( x_1, x_3, x_5, \dots, x_{21} \), yang memiliki 11 suku. Maka:

\[
A = x_1 + x_3 + \dots + x_{21} = 11 \times \frac{x_1 + x_{21}}{2}
\]

Dengan \( x_{21} = a + 20b \), maka:

\[
A = 11 \times \frac{a + (a + 20b)}{2} = 11 \times \frac{2a + 20b}{2} = 11 \times (a + 10b)
\]
\[
A = 11(a + 10b)
\]

Demikian juga, \( B \) adalah jumlah suku-suku dengan indeks genap, yaitu \( x_2, x_4, \dots, x_{22} \), yang juga memiliki 11 suku:

\[
B = x_2 + x_4 + \dots + x_{22} = 11 \times \frac{x_2 + x_{22}}{2}
\]

Dengan \( x_2 = a + b \) dan \( x_{22} = a + 21b \), maka:

\[
B = 11 \times \frac{(a + b) + (a + 21b)}{2} = 11 \times \frac{2a + 22b}{2} = 11 \times (a + 11b)
\]
\[
B = 11(a + 11b)
\]

Diketahui bahwa \( A : B = 11 : 12 \), maka:

\[
\frac{A}{B} = \frac{11(a + 10b)}{11(a + 11b)} = \frac{11}{12}
\]

Sederhanakan persamaan ini:

\[
\frac{a + 10b}{a + 11b} = \frac{11}{12}
\]

Kalikan silang:

\[
12(a + 10b) = 11(a + 11b)
\]
\[
12a + 120b = 11a + 121b
\]
\[
a = b \quad \text{(Persamaan 2)}
\]

### Langkah 3: Menyelesaikan nilai \( a \) dan \( b \)
Substitusikan \( a = b \) ke dalam Persamaan 1:

\[
2a + 21b = 184
\]
\[
2b + 21b = 184
\]
\[
23b = 184
\]
\[
b = \frac{184}{23} = 8
\]

Karena \( a = b \), maka \( a = 8 \).

### Langkah 4: Menentukan suku terbesar dan suku keempat
Suku terbesar dari barisan aritmetika ini adalah \( x_{22} \), yaitu:

\[
x_{22} = a + 21b = 8 + 21 \times 8 = 8 + 168 = 176
\]

Suku keempat \( x_4 \) adalah:

\[
x_4 = a + 3b = 8 + 3 \times 8 = 8 + 24 = 32
\]

### Langkah 5: Menentukan selisih suku terbesar dan suku keempat
Selisih antara suku terbesar dan suku keempat adalah:

\[
x_{22} - x_4 = 176 - 32 = 144
\]

Jadi, selisih nilai suku terbesar dan suku keempat adalah **144**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? 

Berikut adalah 5 pertanyaan yang berkaitan:
1. Bagaimana cara menentukan jumlah suku ke-n dalam barisan aritmetika?
2. Mengapa rasio \( A : B \) mempengaruhi perhitungan dalam soal ini?
3. Bagaimana jika rasio \( A : B \) berbeda dari 11 : 12?
4. Apa rumus umum untuk jumlah n suku pertama dalam barisan aritmetika?
5. Bagaimana jika beda suku \( b \) adalah bilangan negatif?

**Tip**: Ingat, untuk menentukan jumlah suku dari barisan aritmetika, gunakan rumus \( S_n = \frac{n}{2} \times (x_1 + x_n) \).

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥22 adalah barisan aritmetika yang hasil penjumlahan dari semua suku-sukunya adalah 2024. Diketahui 𝐴 = 𝑥1 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥21 dan 𝐵 = 𝑥2 + 𝑥4 + ⋯ + 𝑥22 dengan 𝐴 ∶ 𝐵 = 11 ∶ 12. Tentukan selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika tersebut.

Pelajari cara menghitung selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika dengan total penjumlahan 2024, serta perbandingan A:B = 11:12. Soal ini melibatkan konsep barisan aritmetika, rumus jumlah suku, dan rasio. Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation