Diketahui bahwa $x_1, x_2, x_3, \dots, x_{22}$ adalah barisan aritmetika, sehingga masing-masing sukunya memiliki beda yang sama, yaitu $b$. Misalkan suku pertama $x_1 = a$, sehingga setiap suku bisa dituliskan sebagai:

$x_n = a + (n-1)b$

Langkah 1: Menentukan jumlah seluruh suku

Jumlah seluruh suku dari barisan aritmetika dapat dinyatakan sebagai:

$S_{22} = x_1 + x_2 + \dots + x_{22} = 2024$

Karena $S_{22}$ merupakan jumlah dari 22 suku barisan aritmetika, maka rumus jumlahnya adalah:

$S_{22} = \frac{22}{2} \times (x_1 + x_{22})$

Dengan $x_{22} = a + 21b$, maka:

$S_{22} = 11 \times (a + a + 21b) = 11 \times (2a + 21b)$ $11 \times (2a + 21b) = 2024$ $2a + 21b = \frac{2024}{11} = 184$ $2a + 21b = 184 \quad \text{(Persamaan 1)}$

Langkah 2: Menentukan nilai $A$ dan $B$

Diketahui bahwa:

$A = x_1 + x_3 + \dots + x_{21}$ $B = x_2 + x_4 + \dots + x_{22}$

Jumlah suku-suku yang membentuk $A$ adalah suku-suku dengan indeks ganjil, yaitu $x_1, x_3, x_5, \dots, x_{21}$, yang memiliki 11 suku. Maka:

$A = x_1 + x_3 + \dots + x_{21} = 11 \times \frac{x_1 + x_{21}}{2}$

Dengan $x_{21} = a + 20b$, maka:

$A = 11 \times \frac{a + (a + 20b)}{2} = 11 \times \frac{2a + 20b}{2} = 11 \times (a + 10b)$ $A = 11(a + 10b)$

Demikian juga, $B$ adalah jumlah suku-suku dengan indeks genap, yaitu $x_2, x_4, \dots, x_{22}$, yang juga memiliki 11 suku:

$B = x_2 + x_4 + \dots + x_{22} = 11 \times \frac{x_2 + x_{22}}{2}$

Dengan $x_2 = a + b$ dan $x_{22} = a + 21b$, maka:

$B = 11 \times \frac{(a + b) + (a + 21b)}{2} = 11 \times \frac{2a + 22b}{2} = 11 \times (a + 11b)$ $B = 11(a + 11b)$

Diketahui bahwa $A : B = 11 : 12$, maka:

$\frac{A}{B} = \frac{11(a + 10b)}{11(a + 11b)} = \frac{11}{12}$

Sederhanakan persamaan ini:

$\frac{a + 10b}{a + 11b} = \frac{11}{12}$

Kalikan silang:

$12(a + 10b) = 11(a + 11b)$ $12a + 120b = 11a + 121b$ $a = b \quad \text{(Persamaan 2)}$

Langkah 3: Menyelesaikan nilai $a$ dan $b$

Substitusikan $a = b$ ke dalam Persamaan 1:

$2a + 21b = 184$ $2b + 21b = 184$ $23b = 184$ $b = \frac{184}{23} = 8$

Karena $a = b$, maka $a = 8$.

Langkah 4: Menentukan suku terbesar dan suku keempat

Suku terbesar dari barisan aritmetika ini adalah $x_{22}$, yaitu:

$x_{22} = a + 21b = 8 + 21 \times 8 = 8 + 168 = 176$

Suku keempat $x_4$ adalah:

$x_4 = a + 3b = 8 + 3 \times 8 = 8 + 24 = 32$

Langkah 5: Menentukan selisih suku terbesar dan suku keempat

Selisih antara suku terbesar dan suku keempat adalah:

$x_{22} - x_4 = 176 - 32 = 144$

Jadi, selisih nilai suku terbesar dan suku keempat adalah 144.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan yang berkaitan:

1. Bagaimana cara menentukan jumlah suku ke-n dalam barisan aritmetika?
2. Mengapa rasio $A : B$ mempengaruhi perhitungan dalam soal ini?
3. Bagaimana jika rasio $A : B$ berbeda dari 11 : 12?
4. Apa rumus umum untuk jumlah n suku pertama dalam barisan aritmetika?
5. Bagaimana jika beda suku $b$ adalah bilangan negatif?

Tip: Ingat, untuk menentukan jumlah suku dari barisan aritmetika, gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} \times (x_1 + x_n)$.