como resolver la ecuación diferencial y^(3)+4y"=3x-1 con el método de coeficientes indeterminados

Para resolver la ecuación diferencial \( y^{(3)} + 4y'' = 3x - 1 \) utilizando el **método de coeficientes indeterminados**, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Encuentra la solución de la ecuación homogénea

Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada:

\[
y^{(3)} + 4y'' = 0
\]

Esta es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Podemos usar una solución de la forma \( y = e^{rx} \). Derivamos \( y = e^{rx} \) y sustituimos en la ecuación:

\[
r^3 e^{rx} + 4r^2 e^{rx} = 0
\]

Como \( e^{rx} \neq 0 \), simplificamos a la ecuación característica:

\[
r^3 + 4r^2 = 0
\]

Factorizamos:

\[
r^2(r + 4) = 0
\]

De aquí obtenemos las raíces:

- \( r_1 = 0 \)
- \( r_2 = -4 \)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es:

\[
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} + C_3 x
\]

### Paso 2: Encuentra la solución particular

La solución particular \( y_p(x) \) se obtiene al considerar la forma de la parte no homogénea, que es \( 3x - 1 \). Dado que se trata de un polinomio de primer grado, suponemos una solución particular de la forma:

\[
y_p(x) = Ax + B
\]

Derivamos \( y_p(x) \):

\[
y'_p(x) = A, \quad y''_p(x) = 0, \quad y^{(3)}_p(x) = 0
\]

Sustituimos en la ecuación original \( y^{(3)} + 4y'' = 3x - 1 \):

\[
0 + 4(0) = 3x - 1
\]

Esto muestra que la suposición inicial no ha contribuido de forma significativa, y nuestra solución particular puede necesitar un ajuste en caso de combinaciones ya presentes.

Aprende a resolver la ecuación diferencial y^(3) + 4y'' = 3x - 1 usando el método de coeficientes indeterminados. Descubre cómo aplicar el método paso a paso, desde la solución de la ecuación homogénea hasta encontrar la solución particular. Este problema es adecuado para estudiantes de nivel universitario.

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