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この問題は、次の不等式を満たす \(x\) と \(y\) に対して、\((x-1)^2 + y\) の範囲を求めるものです。

### 条件
- 実数 \(x, y\) が \(x^2 \leq y \leq 2x \sin \theta + \theta\) （ただし、\(\theta > 0\)）を満たす。

### 解答方針
1. **不等式の条件を整理する**：
   \[
   x^2 \leq y \leq 2x \sin \theta + \theta
   \]
   まず、\(y\) は \(x^2\) と \(2x \sin \theta + \theta\) の間にあるという条件が与えられています。

2. **\((x-1)^2 + y\) を考える**：
   求めるべき式は \((x-1)^2 + y\) です。\(y\) の範囲は先ほどの不等式に従いますので、\(y = x^2\) の時と、\(y = 2x \sin \theta + \theta\) の時を代入して考えます。

3. **最小値を考える**：
   \[
   (x-1)^2 + x^2
   \]
   この式を展開すると、
   \[
   (x-1)^2 + x^2 = (x^2 - 2x + 1) + x^2 = 2x^2 - 2x + 1
   \]
   となります。

4. **最大値を考える**：
   次に、\(y = 2x \sin \theta + \theta\) を代入したときの最大値を求めます。
   \[
   (x-1)^2 + (2x \sin \theta + \theta) = (x-1)^2 + 2x \sin \theta + \theta
   \]
   これを展開すると、
   \[
   (x^2 - 2x + 1) + 2x \sin \theta + \theta = x^2 + 2x(\sin \theta - 1) + 1 + \theta
   \]
   となります。

5. **結論**：
   よって、求める範囲は最小値が \(2x^2 - 2x + 1\)、最大値が \(x^2 + 2x(\sin \theta - 1) + 1 + \theta\) の間になります。

ご質問があれば教えてください。また、関連する5つの問題を挙げます。

1. \((x-1)^2 + y\) の最大値を具体的に求める場合、どのように計算しますか？
2. \(y = x^2\) の時のグラフの形状を説明できますか？
3. 角度 \(\theta\) が変わると、最大値や最小値はどのように変わりますか？
4. この不等式の範囲をグラフで表すと、どのような領域が得られますか？
5. 他の方法で \((x-1)^2 + y\) の範囲を求めるアプローチはありますか？

### ヒント
不等式を扱う際には、両端の値を代入して、最小値と最大値を個別に計算するのが有効です。

実数 x, y が x^2 ≤ y ≤ 2x sinθ + θ (θ > 0) を満たしているとき、(x-1)^2 + y の範囲を求めよ。

Learn how to find the range of the expression (x-1)^2 + y given the inequality x^2 ≤ y ≤ 2x sinθ + θ (θ > 0). This problem explores inequalities, trigonometric identities, and quadratic equations, making it ideal for high school students.

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