كيف يمكنني إثبات الصيغة الأولى خطوة بخطوة؟

لإثبات الصيغة الأولى خطوة بخطوة، يمكننا تتبع عملية جمع الثابت \( c \) من \( i = a \) إلى \( i = b \). نبدأ بالتعريف الأساسي لمجموع سلسلة.

الصيغة المعطاة هي:

\[\sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (|b - a| + 1)\]

**خطوات الإثبات:**

1. **التعريف الأساسي للمجموع:**

   \[\sum_{i=a}^{b} c\]

   هذا يعني جمع الثابت \( c \) لكل قيمة من \( i \) تبدأ من \( a \) وتنتهي عند \( b \).

2. **عدد الحدود في المجموع:**

   لتحديد عدد الحدود التي يتم جمعها، نلاحظ أنه عندما يبدأ \( i \) من \( a \) وينتهي عند \( b \)، تكون عدد الحدود هي:

   \[|b - a| + 1\]

   هذا بسبب احتساب كل الأعداد من \( a \) إلى \( b \) بما في ذلك \( a \) و\( b \).

3. **تحليل المجموع:**

   بما أن \( c \) ثابت لكل قيمة من \( i \)، فإن المجموع يمكن كتابته كالتالي:

   \[\sum_{i=a}^{b} c = c + c + c + \cdots + c\]

   حيث يتم جمع \( c \) عدد مرات يساوي \( |b - a| + 1 \).

4. **تحويل المجموع إلى عملية ضرب:**

   بما أن \( c \) يتكرر \( |b - a| + 1 \) مرة، يمكننا إعادة كتابة المجموع كعملية ضرب:

   \[\sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (|b - a| + 1)\]

وبهذا، نكون قد أثبتنا الصيغة:

\[\sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (|b - a| + 1)\]

**توضيح بالمثال:**

لنفترض \( a = 2 \) و\( b = 5 \) و\( c = 3 \).

1. نحسب عدد الحدود:

   \[|5 - 2| + 1 = 4\]

2. نحسب المجموع:

   \[\sum_{i=2}^{5} 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 \cdot 4 = 12\]

   وبالتالي:

   \[3 \cdot (|5 - 2| + 1) = 3 \cdot 4 = 12\]

وهذا يؤكد صحة الصيغة.

هل تحتاج إلى مزيد من التوضيح أو تفاصيل إضافية؟

يمكنك سؤالي أي من الأسئلة التالية:

1. ما هي طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات الصيغة الثانية؟
2. هل هناك تطبيقات عملية لهذه الصيغ في الفيزياء أو الاقتصاد؟
3. ما هي استخدامات هذه المجاميع في حساب التفاضل والتكامل؟
4. كيف يمكنني استخدام البرمجة لحساب هذه المجاميع بشكل فعّال؟
5. ما هو الاستقراء الرياضي وكيف يمكن استخدامه في إثبات المجاميع؟

**نصيحة:** التأكد من فهم كيفية اشتقاق الصيغ الرياضية يمكن أن يكون مفيداً جداً، خاصة عند تطبيقها في مسائل أكثر تعقيداً.

Learn how to step-by-step prove the summation formula \( \sum_{i=a}^{b} c = c \cdot (|b - a| + 1) \). This guide covers the fundamental concepts of arithmetic series and is suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation