La suite $u_n$ est définie par $u_0 = \sqrt{5}$ et $u_{n+1} = \sqrt{5 + u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Nous cherchons à montrer que $u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Étape 1 : Montrer par récurrence que $u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Initialisation (cas de $n = 0$) :

Nous avons $u_0 = \sqrt{5}$. Or, il est facile de voir que :

$\sqrt{5} \approx 2.236 < 3$

Donc, $u_0 \leq 3$ est vrai.

Hypothèse de récurrence :

Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 3$ soit vrai. Nous allons prouver que $u_{n+1} \leq 3$ également.

Hérédité (cas de $n \to n+1$) :

Nous savons que $u_{n+1} = \sqrt{5 + u_n}$. Puisque par hypothèse de récurrence $u_n \leq 3$, on a :

$u_{n+1} = \sqrt{5 + u_n} \leq \sqrt{5 + 3} = \sqrt{8}$

Or, $\sqrt{8} \approx 2.828$, et donc $u_{n+1} \leq 3$.

Conclusion :

Par le principe de récurrence, nous avons montré que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 3$.

Résumé :

La suite $u_n$ est bornée supérieurement par 3. Ainsi, $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq 3$.

Si tu as des questions supplémentaires ou si tu souhaites des précisions, n'hésite pas à me le faire savoir !

Questions supplémentaires :

1. Comment démontrer la convergence de cette suite ?
2. Quelle est la limite de la suite $u_n$ ?
3. Quel est l'intérêt de cette méthode par récurrence pour démontrer des bornes ?
4. Comment prouver que la suite est croissante ?
5. Quelle est la définition d'une suite bornée ?

Astuce :

Lorsqu'une suite est définie de manière récurrente, la méthode par récurrence est souvent très utile pour établir des bornes et des propriétés importantes.