On considère la suite (un) définie pour tout n E N par:
Up = 5 et un+1 = 2
u+2.
1. Prouver par récurrence que, pour tout n E N:
un ≥ 4.
2. Justifier que, pour tout n E N :
4+1 -Mi ミー
ラム＋2.
3. Conclure sur le sens de variation de la suite.
4. La suite (un) est-elle convergente ?

Considérons la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par :

\[
u_0 = 5 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = 2u_n + 2
\]

Nous allons répondre aux différentes questions une à une.

### 1. **Prouver par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq 4\)**

**Initialisation (pour \(n = 0\)) :**
\[
u_0 = 5 \geq 4
\]
La propriété est donc vraie pour \(n = 0\).

**Hérédité :** Supposons que pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), on ait \(u_n \geq 4\). Montrons que \(u_{n+1} \geq 4\).

On sait que :
\[
u_{n+1} = 2u_n + 2
\]
En utilisant l'hypothèse de récurrence \(u_n \geq 4\), on a :
\[
u_{n+1} = 2u_n + 2 \geq 2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10
\]
Donc, \(u_{n+1} \geq 10\), ce qui implique que \(u_{n+1} \geq 4\).

**Conclusion :** Par le principe de récurrence, on en déduit que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq 4\).

### 2. **Justifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq 4\)**

La justification repose directement sur la récurrence prouvée dans la question précédente. Comme nous l'avons montré, à chaque étape de la récurrence, \(u_n\) est toujours supérieur ou égal à 4. Par conséquent, la propriété est vérifiée pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

### 3. **Conclure sur le sens de variation de la suite \((u_n)\)**

Examinons le sens de variation de la suite. On a :

\[
u_{n+1} = 2u_n + 2
\]

Pour étudier la variation de la suite, calculons la différence entre deux termes consécutifs :

\[
u_{n+1} - u_n = (2u_n + 2) - u_n = u_n + 2
\]

Puisque \(u_n \geq 4\) pour tout \(n\), on a donc :

\[
u_{n+1} - u_n \geq 4 + 2 = 6
\]

Cela montre que \(u_{n+1} > u_n\), donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

### 4. **La suite \((u_n)\) est-elle convergente ?**

Une suite strictement croissante n'est convergente que si elle est majorée. Or, la suite \((u_n)\) est strictement croissante et non majorée, car chaque terme est plus grand que le précédent et tend vers l'infini. En effet, étant donné la forme récurrente \(u_{n+1} = 2u_n + 2\), il est évident que la suite diverge vers l'infini.

**Conclusion :** La suite \((u_n)\) est strictement croissante et tend vers l'infini. Par conséquent, elle n'est pas convergente.

---

### Questions supplémentaires pour approfondir :

1. Quel serait le comportement de la suite si l'on changeait la relation récurrente en \(u_{n+1} = u_n + 2\) ?
2. Comment déterminer si une suite est majorée ?
3. Quelle serait l'étude du comportement de la suite si \(u_0 = 2\) ?
4. Pourquoi une suite strictement croissante non majorée diverge-t-elle toujours ?
5. Peut-on utiliser une méthode de récurrence pour prouver que \(u_n \geq 6\) pour tout \(n\) ?

**Astuce :** Lorsque vous étudiez le comportement d'une suite, calculez toujours la différence entre deux termes consécutifs pour analyser le sens de variation.

On considère la suite (un) définie pour tout n E N par: Up = 5 et un+1 = 2u + 2. 1. Prouver par récurrence que, pour tout n E N: un ≥ 4. 2. Justifier que, pour tout n E N: un ≥ 4. 3. Conclure sur le sens de variation de la suite. 4. La suite (un) est-elle convergente ?

Explore how to prove by mathematical induction that a sequence defined by u_{n+1} = 2u_n + 2 satisfies un ≥ 4 for all n. Study the variation and convergence of this sequence. Suitable for high school students, Grades 10-12.

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