Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$u_0 = 5 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = 2u_n + 2$

Nous allons répondre aux différentes questions une à une.

1. Prouver par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 4$

Initialisation (pour $n = 0$) : $u_0 = 5 \geq 4$ La propriété est donc vraie pour $n = 0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, on ait $u_n \geq 4$. Montrons que $u_{n+1} \geq 4$.

On sait que : $u_{n+1} = 2u_n + 2$ En utilisant l'hypothèse de récurrence $u_n \geq 4$, on a : $u_{n+1} = 2u_n + 2 \geq 2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10$ Donc, $u_{n+1} \geq 10$, ce qui implique que $u_{n+1} \geq 4$.

Conclusion : Par le principe de récurrence, on en déduit que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 4$.

2. Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq 4$

La justification repose directement sur la récurrence prouvée dans la question précédente. Comme nous l'avons montré, à chaque étape de la récurrence, $u_n$ est toujours supérieur ou égal à 4. Par conséquent, la propriété est vérifiée pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. Conclure sur le sens de variation de la suite $(u_n)$

Examinons le sens de variation de la suite. On a :

$u_{n+1} = 2u_n + 2$

Pour étudier la variation de la suite, calculons la différence entre deux termes consécutifs :

$u_{n+1} - u_n = (2u_n + 2) - u_n = u_n + 2$

Puisque $u_n \geq 4$ pour tout $n$, on a donc :

$u_{n+1} - u_n \geq 4 + 2 = 6$

Cela montre que $u_{n+1} > u_n$, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?

Une suite strictement croissante n'est convergente que si elle est majorée. Or, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et non majorée, car chaque terme est plus grand que le précédent et tend vers l'infini. En effet, étant donné la forme récurrente $u_{n+1} = 2u_n + 2$, il est évident que la suite diverge vers l'infini.

Conclusion : La suite $(u_n)$ est strictement croissante et tend vers l'infini. Par conséquent, elle n'est pas convergente.

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Questions supplémentaires pour approfondir :

1. Quel serait le comportement de la suite si l'on changeait la relation récurrente en $u_{n+1} = u_n + 2$ ?
2. Comment déterminer si une suite est majorée ?
3. Quelle serait l'étude du comportement de la suite si $u_0 = 2$ ?
4. Pourquoi une suite strictement croissante non majorée diverge-t-elle toujours ?
5. Peut-on utiliser une méthode de récurrence pour prouver que $u_n \geq 6$ pour tout $n$ ?

Astuce : Lorsque vous étudiez le comportement d'une suite, calculez toujours la différence entre deux termes consécutifs pour analyser le sens de variation.