Math Problem Statement

On considere la suite Un definie par U0 = 1 et $\forall n\in N$, Un+1 = racine carrée de 1 + Un carée sur 2 demontrer par recurrence que pour tout entier natural $0\le Un\le1$

Solution

Pour démontrer par récurrence que 0Un10 \leq U_n \leq 1 pour tout entier naturel nn, on suit les étapes suivantes :

Initialisation :

Pour n=0n = 0, on a U0=1U_0 = 1. Donc, 0U010 \leq U_0 \leq 1 est vérifié.

Hypothèse de récurrence :

Supposons que pour un certain entier naturel nn, on a 0Un10 \leq U_n \leq 1. Il s'agit de l'hypothèse de récurrence.

Pas de récurrence :

Montrons que cette propriété est vraie pour Un+1U_{n+1}, c'est-à-dire 0Un+110 \leq U_{n+1} \leq 1.

On sait que Un+1=1+Un22U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}}.

  1. Positivité de Un+1U_{n+1} : Puisque 1+Un201 + U_n^2 \geq 0, on a 1+Un220\frac{1 + U_n^2}{2} \geq 0. Par conséquent, Un+1=1+Un220U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}} \geq 0.

  2. Majorité de Un+1U_{n+1} par 1 : Un+1=1+Un22U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}} On sait que 0Un10 \leq U_n \leq 1, donc Un21U_n^2 \leq 1. Ainsi, 1+Un221 + U_n^2 \leq 2 ce qui implique que 1+Un221.\frac{1 + U_n^2}{2} \leq 1. En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient Un+1=1+Un221.U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}} \leq 1.

Ainsi, 0Un+110 \leq U_{n+1} \leq 1.

Conclusion :

Par le principe de récurrence, nous avons montré que 0Un10 \leq U_n \leq 1 pour tout entier naturel nn.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions?

Voici 5 questions relatives pour approfondir :

  1. Comment la suite UnU_n se comporte-t-elle à long terme (convergence)?
  2. Pouvez-vous démontrer que la suite est décroissante ou croissante?
  3. Quelle est la limite de UnU_n lorsque nn tend vers l'infini?
  4. Si U0U_0 était différent de 1, comment cela affecterait-il la démonstration?
  5. Pouvez-vous visualiser la suite UnU_n en fonction de nn?

Tip: Lors de la démonstration par récurrence, assurez-vous que l'hypothèse de récurrence est toujours bien justifiée pour éviter des erreurs dans le raisonnement.

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Math Problem Analysis

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Un+1 = √[(1 + Un^2) / 2]

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Grades 10-12