On considere la suite Un definie par U0 = 1 et $\forall n\in N$, Un+1 = racine carrée de 1 + Un carée sur 2 demontrer par recurrence que pour tout entier natural $0\le Un\le1$

Pour démontrer par récurrence que $ 0 \leq U_n \leq 1 $ pour tout entier naturel $ n $, on suit les étapes suivantes :

### Initialisation :
Pour $ n = 0 $, on a $ U_0 = 1 $.
Donc, $ 0 \leq U_0 \leq 1 $ est vérifié.

### Hypothèse de récurrence :
Supposons que pour un certain entier naturel $ n $, on a $ 0 \leq U_n \leq 1 $. Il s'agit de l'hypothèse de récurrence.

### Pas de récurrence :
Montrons que cette propriété est vraie pour $ U_{n+1} $, c'est-à-dire $ 0 \leq U_{n+1} \leq 1 $.

On sait que $ U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}} $.

1. **Positivité de $ U_{n+1} $** :
   Puisque $ 1 + U_n^2 \geq 0 $, on a $ \frac{1 + U_n^2}{2} \geq 0 $. Par conséquent, $ U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}} \geq 0 $.

2. **Majorité de $ U_{n+1} $ par 1** :
   \[
   U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}}
   \]
   On sait que $ 0 \leq U_n \leq 1 $, donc $ U_n^2 \leq 1 $. Ainsi, 
   \[
   1 + U_n^2 \leq 2
   \]
   ce qui implique que
   \[
   \frac{1 + U_n^2}{2} \leq 1.
   \]
   En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient
   \[
   U_{n+1} = \sqrt{\frac{1 + U_n^2}{2}} \leq 1.
   \]

Ainsi, $ 0 \leq U_{n+1} \leq 1 $.

### Conclusion :
Par le principe de récurrence, nous avons montré que $ 0 \leq U_n \leq 1 $ pour tout entier naturel $ n $.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions? 

Voici 5 questions relatives pour approfondir :

1. Comment la suite $ U_n $ se comporte-t-elle à long terme (convergence)?
2. Pouvez-vous démontrer que la suite est décroissante ou croissante?
3. Quelle est la limite de $ U_n $ lorsque $ n $ tend vers l'infini?
4. Si $ U_0 $ était différent de 1, comment cela affecterait-il la démonstration?
5. Pouvez-vous visualiser la suite $ U_n $ en fonction de $ n $?

**Tip:** Lors de la démonstration par récurrence, assurez-vous que l'hypothèse de récurrence est toujours bien justifiée pour éviter des erreurs dans le raisonnement.

On considère la suite Un définie par U0 = 1 et ∀ n ∈ N, Un+1 = racine carrée de (1 + Un carré) sur 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 0 ≤ Un ≤ 1.

Explore the detailed proof using mathematical induction to show that for the sequence defined by U0 = 1 and Un+1 = √[(1 + Un^2) / 2], the inequality 0 ≤ Un ≤ 1 holds for all natural numbers n. This problem involves key concepts such as sequences, inequalities, and the principle of mathematical induction, suitable for students in Grades 10-12.

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