Math Problem Statement
On considere la suite Un definie par U0 = 1 et $\forall n\in N$, Un+1 = racine carrée de 1 + Un carée sur 2 demontrer par recurrence que pour tout entier natural $0\le Un\le1$
Solution
Pour démontrer par récurrence que pour tout entier naturel , on suit les étapes suivantes :
Initialisation :
Pour , on a . Donc, est vérifié.
Hypothèse de récurrence :
Supposons que pour un certain entier naturel , on a . Il s'agit de l'hypothèse de récurrence.
Pas de récurrence :
Montrons que cette propriété est vraie pour , c'est-à-dire .
On sait que .
-
Positivité de : Puisque , on a . Par conséquent, .
-
Majorité de par 1 : On sait que , donc . Ainsi, ce qui implique que En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient
Ainsi, .
Conclusion :
Par le principe de récurrence, nous avons montré que pour tout entier naturel .
Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions?
Voici 5 questions relatives pour approfondir :
- Comment la suite se comporte-t-elle à long terme (convergence)?
- Pouvez-vous démontrer que la suite est décroissante ou croissante?
- Quelle est la limite de lorsque tend vers l'infini?
- Si était différent de 1, comment cela affecterait-il la démonstration?
- Pouvez-vous visualiser la suite en fonction de ?
Tip: Lors de la démonstration par récurrence, assurez-vous que l'hypothèse de récurrence est toujours bien justifiée pour éviter des erreurs dans le raisonnement.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Mathematical Induction
Sequences
Inequalities
Formulas
Un+1 = √[(1 + Un^2) / 2]
Theorems
Principle of Mathematical Induction
Suitable Grade Level
Grades 10-12