Pour démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 1$, on a $U_n \leq 2 - \frac{1}{n}$, nous suivons les étapes classiques d'une démonstration par récurrence.

1. Initialisation

Vérifions la propriété pour $n = 1$.

Il faut montrer que $U_1 \leq 2 - \frac{1}{1}$, soit $U_1 \leq 1$.

Nous supposons que $U_1$ satisfait cette condition. Si ce n’est pas le cas, il faudrait vérifier les valeurs exactes de $U_1$.

2. Hypothèse de récurrence

Supposons maintenant que la propriété est vraie pour un certain entier $n = k$, c'est-à-dire que :

$U_k \leq 2 - \frac{1}{k}$

3. Étape de récurrence

Il s'agit maintenant de démontrer que la propriété est vraie pour $n = k + 1$, c'est-à-dire que :

$U_{k+1} \leq 2 - \frac{1}{k+1}$

Pour cela, il est souvent nécessaire d'utiliser une relation de récurrence donnée pour $U_n$. Si une telle relation n'est pas fournie, il faudrait la préciser pour poursuivre.

Sans cette relation, on ne peut pas finir la démonstration car les étapes suivantes dépendent de la manière dont $U_{k+1}$ est exprimé en fonction de $U_k$.

Conclusion

Après avoir complété ces trois étapes, si la relation entre $U_n$ et $U_{n+1}$ permet de conclure l'étape de récurrence, on aura montré que la propriété est vraie pour tout entier $n \geq 1$.

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Si vous avez des précisions supplémentaires sur la relation entre $U_n$ et $U_{n+1}$, je peux vous aider à finaliser la démonstration.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur une étape spécifique ?

Voici 5 questions liées pour explorer davantage :

1. Quelle est la relation exacte de récurrence de $U_n$ ?
2. Quelles sont les techniques générales pour prouver des inégalités par récurrence ?
3. Comment choisir une bonne hypothèse de récurrence ?
4. Quels sont les pièges courants dans une démonstration par récurrence ?
5. Comment appliquer ce type de raisonnement à des suites arithmétiques ou géométriques ?

Tip : En récurrence, comprendre et bien poser l'étape de base est crucial pour éviter des erreurs dans les étapes suivantes.