Nous devons montrer, par récurrence, que $1 < U_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, en supposant que la suite $(U_n)$ est définie et qu'on connaît $U_0 = 2$.

Hypothèse de récurrence

Nous allons procéder en deux étapes : une base et une hypothèse de récurrence.

1. Base de récurrence : Montrer que l'inégalité est vraie pour $n = 0$.

   On a $U_0 = 2$. Il est donc clair que : $1 < U_0 = 2 < 3.$ La base est vérifiée.

2. Hypothèse de récurrence : Supposons que l'inégalité est vraie pour un certain $n = k$, c'est-à-dire que : $1 < U_k < 3.$ Nous devons maintenant montrer que l'inégalité est vraie pour $n = k+1$, c'est-à-dire que : $1 < U_{k+1} < 3.$

   Pour cela, il nous faut connaître la relation de récurrence qui définit $U_{k+1}$ en fonction de $U_k$. Pouvez-vous me fournir cette relation de récurrence pour $(U_n)$ ?