見分けのつかない袋が 3 つある．
袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．

1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．
その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．
2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．

このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．

解答は分数でも少数でもよい．
小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

この問題はベイズの定理を使って、条件付き確率を計算する問題です。袋1が選ばれている確率（事後確率）を求めるために、以下のステップで解いていきます。

### ステップ 1: 各袋から赤玉が出る確率を求める
袋1, 袋2, 袋3からそれぞれ赤玉が出る確率は次の通りです：

- **袋1**：赤玉と白玉の比が \(3 : 1\) なので、赤玉が出る確率 \(P(\text{赤} | \text{袋1})\) は \( \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}\)。
- **袋2**：赤玉と白玉の比が \(1 : 3\) なので、赤玉が出る確率 \(P(\text{赤} | \text{袋2})\) は \( \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}\)。
- **袋3**：赤玉と白玉の比が \(1 : 1\) なので、赤玉が出る確率 \(P(\text{赤} | \text{袋3})\) は \( \frac{1}{2}\)。

### ステップ 2: 初めて赤玉が出たときの事後確率を求める
最初の赤玉を引いた時点での袋1が選ばれている確率（事後確率）を求めます。

1. 各袋が選ばれる事前確率は等しいので、初めの袋を選ぶ確率は \(P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3}\) です。
2. 赤玉が出る確率の総和は、各袋から赤玉が出る確率に袋が選ばれる確率を掛け合わせたもので表されます。

\[
P(\text{赤}) = P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤} | \text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤} | \text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})
\]
\[
= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]

3. ベイズの定理を用いて、最初に赤玉が出たときの袋1が選ばれている確率 \(P(\text{袋1} | \text{赤})\) を求めます。

\[
P(\text{袋1} | \text{赤}) = \frac{P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

よって、最初の赤玉が出た時点での袋1の事後確率は \( \frac{1}{2} \) です。

### ステップ 3: 2回目も赤玉だったときの事後確率
2回目の赤玉を引いた時点での袋1の事後確率を求めます。1回目の事後確率を事前確率と見なして計算を進めます。

1. 袋1が選ばれていると仮定したとき、2回連続で赤玉が出る確率は

\[
P(\text{赤, 赤} | \text{袋1}) = P(\text{赤} | \text{袋1}) \times P(\text{赤} | \text{袋1}) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}
\]

2. 同様に袋2と袋3についても求めます。

\[
P(\text{赤, 赤} | \text{袋2}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}
\]
\[
P(\text{赤, 赤} | \text{袋3}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{4}{16}
\]

3. 2回連続で赤玉が出る確率は次のようになります。

\[
P(\text{赤, 赤}) = P(\text{赤, 赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1} | \text{赤}) + P(\text{赤, 赤} | \text{袋2}) \cdot P(\text{袋2} | \text{赤}) + P(\text{赤, 赤} | \text{袋3}) \cdot P(\text{袋3} | \text{赤})
\]
\[
= \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{6} + \frac{4}{16} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{32} + \frac{1}{96} + \frac{4}{48} = \frac{27}{96} = \frac{9}{16}


見分けのつかない袋が 3 つある．袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．解答は分数でも少数でもよい．小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

Solve a conditional probability problem involving three bags with different ratios of red and white balls. Using Bayes' Theorem, find the posterior probability of choosing Bag 1 after drawing a red ball three times. Detailed solution for high school students (Grade 11-12).

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