この問題はベイズの定理を用いた事後確率の計算を要求しています。まず、問題の状況を整理しましょう。

1. 問題の整理

• 袋1: 赤玉:白玉 = 3:1 より、赤玉が取り出される確率は $\frac{3}{4}$。
• 袋2: 赤玉:白玉 = 1:3 より、赤玉が取り出される確率は $\frac{1}{4}$。
• 袋3: 赤玉:白玉 = 1:1 より、赤玉が取り出される確率は $\frac{1}{2}$。

袋は見分けがつかないので、初めに袋1, 2, 3のどれを選ぶ確率も等しく、各袋を選ぶ確率は $\frac{1}{3}$ です。

2. 事前確率と条件付き確率

1. 事前確率: 各袋が選ばれる確率は $P(\text{袋}1) = P(\text{袋}2) = P(\text{袋}3) = \frac{1}{3}$。
2. 条件付き確率: 袋1, 袋2, 袋3 からそれぞれ赤玉を取り出す確率を次のように定義します。
   • $P(\text{赤}|\text{袋}1) = \frac{3}{4}$
   • $P(\text{赤}|\text{袋}2) = \frac{1}{4}$
   • $P(\text{赤}|\text{袋}3) = \frac{1}{2}$

3. ベイズの定理を使って、1回目の赤玉が出た後の袋1の事後確率を求める

1回目の取り出しで赤玉が出たときに、袋1が選ばれた確率を計算します。

$P(\text{赤}) = P(\text{赤}|\text{袋}1) \cdot P(\text{袋}1) + P(\text{赤}|\text{袋}2) \cdot P(\text{袋}2) + P(\text{赤}|\text{袋}3) \cdot P(\text{袋}3)$ $= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

次に、袋1が選ばれた条件で赤玉が出た確率を求めます。

$P(\text{袋}1|\text{赤}) = \frac{P(\text{赤}|\text{袋}1) \cdot P(\text{袋}1)}{P(\text{赤})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

したがって、1回目の取り出し後の袋1の事後確率は $\frac{1}{2}$ です。

4. 2回目の赤玉が出た後の袋1の事後確率

同様に、2回目の取り出しで赤玉が出た条件での袋1の事後確率を求めます。2回目の赤玉が出る条件付き確率は以下のように計算できます。

[ P(\text{赤,赤}) = P(\text{赤}|\text{袋}1) \cdot P(\text{赤}|\text{袋}1) \cdot P(\text{袋}1) + P(\text{赤}|\text{袋}2) \cdot P(\text{赤}|\text{袋}2) \cdot P(\text{袋}2) + P(\text{赤}|\text{袋}3) \cdot P(\text{赤}|\text{袋}3) \cdot P(\text{袋}3