見分けのつかない袋が 3 つある．
袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．

1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．
その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．
2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．

このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．

解答は分数でも少数でもよい．
小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

この問題は条件付き確率の問題で、特にベイズの定理を用いて解きます。以下では、1回目、2回目、および3回目の試行終了時点での事後確率を順に計算します。

### 1. 袋の選択と玉の取り出しの設定
袋1、袋2、袋3にそれぞれ以下のように玉が入っています：
- **袋1**: 赤玉 : 白玉 = 3 : 1（赤玉の確率 \( P(\text{赤|袋1}) = \frac{3}{4} \)）
- **袋2**: 赤玉 : 白玉 = 1 : 3（赤玉の確率 \( P(\text{赤|袋2}) = \frac{1}{4} \)）
- **袋3**: 赤玉 : 白玉 = 1 : 1（赤玉の確率 \( P(\text{赤|袋3}) = \frac{1}{2} \)）

各袋が選ばれる確率は等しいため、
\[ P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3} \]

### 2. 事前確率と事後確率の計算
1回目、2回目、3回目それぞれの玉が赤であるときの条件付き確率をベイズの定理を用いて求めます。

#### Step 1: 1回目の試行で赤玉が出た後の袋1の事後確率
1回目に赤玉が出る確率 \( P(\text{赤}) \) は、全体の赤玉が出る確率を以下のように計算します：
\[
P(\text{赤}) = P(\text{赤|袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤|袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤|袋3}) \cdot P(\text{袋3})
\]
\[
= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]

1回目に赤玉が出たときの袋1の事後確率 \( P(\text{袋1|赤}) \) は、
\[
P(\text{袋1|赤}) = \frac{P(\text{赤|袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

#### Step 2: 2回目の試行で再び赤玉が出た後の袋1の事後確率
次に、2回目も赤玉が出たときの袋1の事後確率を求めます。同様の手順を用いますが、1回目の結果を条件に含めます。

2回目も赤玉が出る確率 \( P(\text{赤|赤}) \) は以下のように計算します：
\[
P(\text{赤|赤}) = P(\text{赤|赤,袋1}) \cdot P(\text{袋1|赤}) + P(\text{赤|赤,袋2}) \cdot P(\text{袋2|赤}) + P(\text{赤|赤,袋3}) \cdot P(\text{袋3|赤})
\]
ここで

見分けのつかない袋が 3 つある．袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．解答は分数でも少数でもよい．小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

This problem explores conditional probability and Bayes' Theorem through the scenario of drawing balls from three bags with different ratios of red and white balls. Learn to calculate the posterior probability of selecting each bag after drawing red balls in three consecutive trials, applying conditional probability formulas with real-world data. Suitable for high school students at Grades 11-12.

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