この問題は条件付き確率の問題で、特にベイズの定理を用いて解きます。以下では、1回目、2回目、および3回目の試行終了時点での事後確率を順に計算します。

1. 袋の選択と玉の取り出しの設定

袋1、袋2、袋3にそれぞれ以下のように玉が入っています：

• 袋1: 赤玉 : 白玉 = 3 : 1（赤玉の確率 $P(\text{赤|袋1}) = \frac{3}{4}$）
• 袋2: 赤玉 : 白玉 = 1 : 3（赤玉の確率 $P(\text{赤|袋2}) = \frac{1}{4}$）
• 袋3: 赤玉 : 白玉 = 1 : 1（赤玉の確率 $P(\text{赤|袋3}) = \frac{1}{2}$）

各袋が選ばれる確率は等しいため、 $P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3}$

2. 事前確率と事後確率の計算

1回目、2回目、3回目それぞれの玉が赤であるときの条件付き確率をベイズの定理を用いて求めます。

Step 1: 1回目の試行で赤玉が出た後の袋1の事後確率

1回目に赤玉が出る確率 $P(\text{赤})$ は、全体の赤玉が出る確率を以下のように計算します： $P(\text{赤}) = P(\text{赤|袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤|袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤|袋3}) \cdot P(\text{袋3})$ $= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

1回目に赤玉が出たときの袋1の事後確率 $P(\text{袋1|赤})$ は、 $P(\text{袋1|赤}) = \frac{P(\text{赤|袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Step 2: 2回目の試行で再び赤玉が出た後の袋1の事後確率

次に、2回目も赤玉が出たときの袋1の事後確率を求めます。同様の手順を用いますが、1回目の結果を条件に含めます。

2回目も赤玉が出る確率 $P(\text{赤|赤})$ は以下のように計算します： $P(\text{赤|赤}) = P(\text{赤|赤,袋1}) \cdot P(\text{袋1|赤}) + P(\text{赤|赤,袋2}) \cdot P(\text{袋2|赤}) + P(\text{赤|赤,袋3}) \cdot P(\text{袋3|赤})$ ここで