この問題を解くためには、ベイズの定理を用いて条件付き確率を計算する必要があります。次に、各ステップを追って解説します。

問題の整理

袋1, 袋2, 袋3の赤玉と白玉の割合は以下の通りです：

• 袋1：赤玉 3、白玉 1（赤玉の割合 $\frac{3}{4}$）
• 袋2：赤玉 1、白玉 3（赤玉の割合 $\frac{1}{4}$）
• 袋3：赤玉 1、白玉 1（赤玉の割合 $\frac{1}{2}$）

袋は無作為に選ばれたので、各袋が選ばれる確率は $\frac{1}{3}$ です。

また、問題の流れとして、最初に赤玉が出て、次に2回目と3回目も赤玉が出たので、各ステップで「赤玉が出た」条件のもとで袋1が選ばれている確率（事後確率）を求めることが目的です。

(1) 2回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

1回目と2回目で「赤玉」が出た場合の条件付き確率を考えます。袋1が選ばれている事後確率を求めるために、以下の変数を定義します：

• $A$：袋1が選ばれる事象
• $B$：1回目と2回目に赤玉が出た事象

求める確率は $P(A | B)$ です。

ベイズの定理の適用

ベイズの定理より、 $P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}$

ここで、

• $P(A) = \frac{1}{3}$
• $P(B | A)$：袋1が選ばれたときに2回連続で赤玉を引く確率
• $P(B)$：2回連続で赤玉が出る確率（全体）

各確率の計算

1. $P(B | A)$：袋1が選ばれた場合に赤玉が2回連続で出る確率は、各回において赤玉が出る確率（$\frac{3}{4}$）を掛け合わせます。 $P(B | A) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

2. $P(B | \text{袋2})$：袋2が選ばれた場合に赤玉が2回連続で出る確率は、各回において赤玉が出る確率（$\frac{1}{4}$）を掛け合わせます。 $P(B | \text{袋2}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

3. $P(B | \text{袋3})$：袋3が選ばれた場合に赤玉が2回連続で出る確率は、各回において赤玉が出る確率（$\frac{1}{2}$）を掛け合わせます。 $P(B | \text{袋3}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

4. $P(B)$：全体の確率は、各袋が選ばれる確率と、その袋で2回連続赤玉が出る確率の積を合計したものです。 $P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(B | \text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})$ $P(B) = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{48} + \frac{1}{48} + \frac{3}{48} = \frac{13}{48}$

事後確率の計算

以上を用いて、袋1が選ばれている事後確率は $P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{13}{48}} = \frac{9 \times 3}{16 \times 13} = \frac{27}{52} \approx 0.519$

(2) 3回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

続いて、3回連続で赤玉が出た場合について同様に考えます。