見分けのつかない袋が 3 つある．
袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．

1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．
その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．
2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．

このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．

解答は分数でも少数でもよい．
小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

この問題を解くためには、ベイズの定理を用いて条件付き確率を計算する必要があります。次に、各ステップを追って解説します。

### 問題の整理

袋1, 袋2, 袋3の赤玉と白玉の割合は以下の通りです：

- 袋1：赤玉 3、白玉 1（赤玉の割合 \( \frac{3}{4} \)）
- 袋2：赤玉 1、白玉 3（赤玉の割合 \( \frac{1}{4} \)）
- 袋3：赤玉 1、白玉 1（赤玉の割合 \( \frac{1}{2} \)）

袋は無作為に選ばれたので、各袋が選ばれる確率は \( \frac{1}{3} \) です。

また、問題の流れとして、最初に赤玉が出て、次に2回目と3回目も赤玉が出たので、各ステップで「赤玉が出た」条件のもとで袋1が選ばれている確率（事後確率）を求めることが目的です。

### (1) 2回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

1回目と2回目で「赤玉」が出た場合の条件付き確率を考えます。袋1が選ばれている事後確率を求めるために、以下の変数を定義します：

- \( A \)：袋1が選ばれる事象
- \( B \)：1回目と2回目に赤玉が出た事象

求める確率は \( P(A | B) \) です。

#### ベイズの定理の適用
ベイズの定理より、
\[
P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}
\]

ここで、
- \( P(A) = \frac{1}{3} \)
- \( P(B | A) \)：袋1が選ばれたときに2回連続で赤玉を引く確率
- \( P(B) \)：2回連続で赤玉が出る確率（全体）

#### 各確率の計算

**1. \( P(B | A) \)**：袋1が選ばれた場合に赤玉が2回連続で出る確率は、各回において赤玉が出る確率（\( \frac{3}{4} \)）を掛け合わせます。
\[
P(B | A) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}
\]

**2. \( P(B | \text{袋2}) \)**：袋2が選ばれた場合に赤玉が2回連続で出る確率は、各回において赤玉が出る確率（\( \frac{1}{4} \)）を掛け合わせます。
\[
P(B | \text{袋2}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}
\]

**3. \( P(B | \text{袋3}) \)**：袋3が選ばれた場合に赤玉が2回連続で出る確率は、各回において赤玉が出る確率（\( \frac{1}{2} \)）を掛け合わせます。
\[
P(B | \text{袋3}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\]

**4. \( P(B) \)**：全体の確率は、各袋が選ばれる確率と、その袋で2回連続赤玉が出る確率の積を合計したものです。
\[
P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(B | \text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})
\]
\[
P(B) = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{48} + \frac{1}{48} + \frac{3}{48} = \frac{13}{48}
\]

#### 事後確率の計算

以上を用いて、袋1が選ばれている事後確率は
\[
P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{13}{48}} = \frac{9 \times 3}{16 \times 13} = \frac{27}{52} \approx 0.519
\]

### (2) 3回目の玉の取り出し終了時点での袋1の事後確率

続いて、3回連続で赤玉が出た場合について同様に考えます。

見分けのつかない袋が 3 つある．袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．解答は分数でも少数でもよい．小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

Explore a Bayesian probability problem involving sequential draws of red balls from three bags, with varying ratios of red to white balls. This problem demonstrates conditional probability and Bayes' theorem, as we calculate the likelihood of Bag 1 being selected after repeated red ball draws. Suitable for high school students.

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