まず、この問題はベイズの定理を用いて袋1が選ばれている事後確率を求める問題です。1回目の赤玉が出たときの事後確率を求め、次にその事後確率を基にして2回目と3回目の赤玉が出たときの確率を順次計算していきます。

問題の整理

• 袋1には赤玉と白玉が「3:1」の割合、袋2には「1:3」の割合、袋3には「1:1」の割合で入っています。
• 袋は一様に選ばれるため、各袋が選ばれる確率は $\frac{1}{3}$ です。
• 赤玉を3回連続で取り出したという条件で、袋1が選ばれている確率を2回目、3回目のそれぞれで求めます。

1回目の事後確率

赤玉が出る確率

1回目に赤玉を取り出す確率を袋ごとに計算します。

1. 袋1の赤玉を取り出す確率: $\frac{3}{4}$
2. 袋2の赤玉を取り出す確率: $\frac{1}{4}$
3. 袋3の赤玉を取り出す確率: $\frac{1}{2}$

赤玉が出る全体の確率は次のように求められます。 $P(\text{赤玉}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

1回目終了時点での事後確率

袋1が選ばれている事後確率を $P(\text{袋1}|\text{赤玉})$ として計算します。ベイズの定理により、 $P(\text{袋1}|\text{赤玉}) = \frac{P(\text{赤玉}|\text{袋1}) \times P(\text{袋1})}{P(\text{赤玉})} = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

よって、1回目の赤玉の結果の後、袋1が選ばれている確率は $\frac{1}{2}$ です。

2回目の事後確率

2回目も赤玉を取り出したという条件を考慮して、再度ベイズの定理を適用します。

条件付き確率

1回目終了時点で袋1が選ばれている確率は $\frac{1}{2}$ であり、この状態で2回目も赤玉が出る確率を計算します。

• 袋1が選ばれている場合、2回目も赤玉が出る確率は $\frac{3}{4}$。
• 袋2が選ばれている場合、2回目も赤玉が出る確率は $\frac{1}{4}$。
• 袋3が選ばれている場合、2回目も赤玉が出る確率は $\frac{1}{2}$。

2回目も赤玉が出る確率（全体の確率）は次のようになります。 $P(\text{赤玉}|\text{1回目も赤玉}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{8} + \frac{3}{16} = \frac{9}{16}$

2回目終了時点での事後確率

2回目の赤玉の結果の後、袋1が選ばれている事後確率 $P(\text{袋1}|\text{2回目も赤玉})$ は次のように計算されます。 $P(\text{袋1}|\text{2回目も赤玉}) = \frac{P(\text{赤玉}|\text{袋1}) \times P(\text{袋1}|\text{1回目も赤玉})}{P(\text{赤玉}|\text{1回目も赤玉})} = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}}{\frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{9}{16}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

よって、2回目の赤玉の結果の後、袋1が選ばれている確率は $\frac{2}{3}$ です。

3回目の事後確率

最後に、3回目も赤玉を取り出した条件を用いて袋1が選ばれている事後確率を計算します。

条件付き確率

2回目終了時点で袋1が選ばれている確率は $\frac{2}{3}$ であり、この状態で3回目も赤玉が出る確率を計算します。

• 袋1が選ばれている場合、3回目も赤玉が出る確率は $\frac{3}{4}$。
• 袋2が選ばれている場合、3回目も赤玉が出る確率は $\frac{1}{4}$。
• 袋3が選ばれている場合、3回目も赤玉が出る確率は $\frac{1}{2}$。

3回目も赤玉が出る確率（全体の確率）は次のようになります。 $P(\text{赤玉}|\text{2回目も赤玉}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{6}{12} + \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{12}{24} + \frac{3}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

3回目終了時点での事後確率

3回目の赤玉の結果の後、袋1が選ばれている事後確率 $P(\text{袋1}|\text{3回目も赤玉})$ は次のように計算されます。 $P(\text{袋1}|\text{3回目も赤玉}) = \frac{P(\text{赤玉}|\text{袋1}) \times P(\text{袋1}|\text{2回目も赤玉})}{P(\text{赤玉}|\text{2回目も赤玉})} = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}{\frac{5}{8}} = \frac{\frac{6}{12}}{\frac{5}{8}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

結果

• (1) 2回目の赤玉を引いた後の袋1の事後確率は $\frac{2}{3}$ です。
• (2) 3回目の赤玉を引いた後の袋1の事後確率は $\frac{4}{5}$ または小数で 0.800 です。

他に質問があれば教えてくださいね。また関連する質問を次に挙げます。

1. ベイズの定理の基本的な考え方は何ですか？
2. 条件付き確率の応用例は他にどのようなものがありますか？
3. 同様の問題で青玉がある場合、確率計算はどう変わりますか？
4. 状況が異なる場合（例えば袋の数が4つの場合）、ベイズの定理をどう適用しますか？
5. 確率を分数で表すときと小数で表すときのメリット・デメリットは？

Tip: ベイズの定理では「事前確率」を「条件付き確