見分けのつかない袋が 3 つある．
袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．

1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．
その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．
2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．

このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．

解答は分数でも少数でもよい．
小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

問題は、条件付き確率を用いて事後確率を求めるものです。特に、取り出した玉の色が「赤」である確率を考慮しながら、袋1から玉を取り出した確率を計算します。

問題を解くための手順は以下のとおりです：

### 1. 各袋の特徴
- **袋1**：赤玉と白玉が 3 : 1 の割合（赤玉の確率は \( \frac{3}{4} \)）
- **袋2**：赤玉と白玉が 1 : 3 の割合（赤玉の確率は \( \frac{1}{4} \)）
- **袋3**：赤玉と白玉が 1 : 1 の割合（赤玉の確率は \( \frac{1}{2} \)）

### 2. 事前確率
袋は無作為に選ばれているため、各袋が選ばれる確率は等しく、次のように定義できます：
\[
P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3}
\]

### 3. 赤玉を取り出す条件付き確率
各袋について、玉を取り出したときに「赤玉」が出る確率を以下のように計算します：
- 袋1から赤玉が出る確率： \( P(\text{赤} | \text{袋1}) = \frac{3}{4} \)
- 袋2から赤玉が出る確率： \( P(\text{赤} | \text{袋2}) = \frac{1}{4} \)
- 袋3から赤玉が出る確率： \( P(\text{赤} | \text{袋3}) = \frac{1}{2} \)

### 4. 1回目の赤玉が出た時点での事後確率
「赤玉が出る」という観測結果のもとで、袋1である確率 \( P(\text{袋1} | \text{赤}) \) をベイズの定理を使って求めます。

ベイズの定理によると、
\[
P(\text{袋1} | \text{赤}) = \frac{P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})}
\]
ここで、全体の赤玉が出る確率 \( P(\text{赤}) \) は次のように計算できます。
\[
P(\text{赤}) = P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤} | \text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤} | \text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})
\]
具体的に計算すると、
\[
P(\text{赤}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]

したがって、
\[
P(\text{袋1} | \text{赤}) = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]

### 5. 2回目も赤玉が出た時点での事後確率
2回目も赤玉が出た条件下での袋1である確率 \( P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤}) \) を同様に計算します。

この場合も、ベイズの定理に従って以下のように求めます：
\[
P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤}) = \frac{P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1} | \text{赤})}{P(\text{赤} | \text{赤})}
\]
ただし

見分けのつかない袋が 3 つある．袋1 には赤玉と白玉が 3 : 1 の割合で，袋2 には 1 : 3 の割合で，袋3 には 1 : 1 で入っている．1 つの袋を無作為に選び，その中から 1 つ玉を取り出したところ，赤玉だった．その後，取り出した玉を元の袋に戻してよくかき混ぜ，その袋から 1 つ玉を取り出すという作業を 2 回繰り返した．2 回目も 3 回目も取り出した玉の色は赤だった．このとき，(1) 2 回目 および (2) 3 回目の玉の取り出し終了時点での 袋1 の事後確率を求めよ．解答は分数でも少数でもよい．小数で解答する場合は，小数点以下第3位までを解答すること（第4位以下を四捨五入）．

Solve a probability problem using Bayesian inference to find the posterior probability of Bag 1 when drawing red balls three times in succession. This solution involves key concepts like conditional probability and Bayes' theorem, suitable for advanced high school or undergraduate students.

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