問題は、条件付き確率を用いて事後確率を求めるものです。特に、取り出した玉の色が「赤」である確率を考慮しながら、袋1から玉を取り出した確率を計算します。

問題を解くための手順は以下のとおりです：

1. 各袋の特徴

• 袋1：赤玉と白玉が 3 : 1 の割合（赤玉の確率は $\frac{3}{4}$）
• 袋2：赤玉と白玉が 1 : 3 の割合（赤玉の確率は $\frac{1}{4}$）
• 袋3：赤玉と白玉が 1 : 1 の割合（赤玉の確率は $\frac{1}{2}$）

2. 事前確率

袋は無作為に選ばれているため、各袋が選ばれる確率は等しく、次のように定義できます： $P(\text{袋1}) = P(\text{袋2}) = P(\text{袋3}) = \frac{1}{3}$

3. 赤玉を取り出す条件付き確率

各袋について、玉を取り出したときに「赤玉」が出る確率を以下のように計算します：

• 袋1から赤玉が出る確率： $P(\text{赤} | \text{袋1}) = \frac{3}{4}$
• 袋2から赤玉が出る確率： $P(\text{赤} | \text{袋2}) = \frac{1}{4}$
• 袋3から赤玉が出る確率： $P(\text{赤} | \text{袋3}) = \frac{1}{2}$

4. 1回目の赤玉が出た時点での事後確率

「赤玉が出る」という観測結果のもとで、袋1である確率 $P(\text{袋1} | \text{赤})$ をベイズの定理を使って求めます。

ベイズの定理によると、 $P(\text{袋1} | \text{赤}) = \frac{P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1})}{P(\text{赤})}$ ここで、全体の赤玉が出る確率 $P(\text{赤})$ は次のように計算できます。 $P(\text{赤}) = P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1}) + P(\text{赤} | \text{袋2}) \cdot P(\text{袋2}) + P(\text{赤} | \text{袋3}) \cdot P(\text{袋3})$ 具体的に計算すると、 $P(\text{赤}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

したがって、 $P(\text{袋1} | \text{赤}) = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

5. 2回目も赤玉が出た時点での事後確率

2回目も赤玉が出た条件下での袋1である確率 $P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤})$ を同様に計算します。

この場合も、ベイズの定理に従って以下のように求めます： $P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤}) = \frac{P(\text{赤} | \text{袋1}) \cdot P(\text{袋1} | \text{赤})}{P(\text{赤} | \text{赤})}$ ただし